Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Güç
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi
toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Statik çökmeden
ωn = √(g/δst)
Kritik sönüm
cc = 2√(km) = 2mωn
Sönüm oranı
ζ = c/cc
Sönümlü frekans
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar
k = k1 + k2
Seri yaylar
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
N1​ = 20, m = 2,5 mm

2900 rpm ile çalışan 1,1 kW’lık bir motor, 20 dişli ve 2,5 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet Ft değerini bulun.

P = 1,1 kWn = 2900 rpmN1 = 20m = 2,5 mm
Ft = N
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
A = 40B = 45C = 16D = 30

2900 rpm’deki 1,5 kW’lık bir motor A dişlisini (40 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (45 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (16 diş), çıkış milindeki D dişlisini (30 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %97’dır. Çıkış torku Tout değerini bulun.

P = 1,5 kWnin = 2900 rpmA = 40B = 45C = 16D = 30ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.Millerin burulmasıOrta
d1​ = 60 mmd2​ = 40 mmT = 500 N·mABC0,5 m2 m

Kademeli dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 60 mm ve uzunluğu 0,5 m; BC parçasının çapı 40 mm ve uzunluğu 2 m’dir. Serbest uç C’de 500 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

T = 500 N·md1 = 60 mm, L1 = 0,5 md2 = 40 mm, L2 = 2 m
τmax = MPa
4.Millerin burulmasıZor
d = 50 mmTB​ = 200 N·mTC​ = 1000 N·mABC3 m0,5 m

50 mm çaplı dolu bir çelik mil A’da ankastredir. A’dan 3 m uzaklıktaki B’de 200 N·m tork, ondan 0,5 m daha ötedeki serbest uç C’de ise ters yönde 1000 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

d = 50 mmTB = 200 N·mTC = 1000 N·mAB = 3 mBC = 0,5 m
τmax = MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = 100σy​ = 70τxy​ = −30MPa

Bir noktada σₓ = 100 MPa, σᵧ = 70 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 25° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σy′ değerini bulun.

σx = 100 MPaσy = 70 MPaτxy = −30 MPaθ = 25°
σy′ = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
40°D = 800 mm, t = 6 mm, p = 1 MPap

İç çapı 800 mm ve et kalınlığı 6 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 1 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 40° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σn değerini bulun.

D = 800 mmt = 6 mmp = 1 MPaα = 40°
σn = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
P = ?12300 mm500 mmØ25Ø60δ = 0,25 mm

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 25 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 60 mm, uzunluk 500 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,25 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm
P = kN
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 25 mmBakır0,5 mØ 12 mmPirinç0,5 mP = 55 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 55 kNparça 1: Ø25 mm, 0,5 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø12 mm, 0,5 m, pirinç (E = 100 GPa)
δ = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 2 md = 30 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 3 md = 30 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm
σcr = MPa
11.Mekanik titreşimlerOrta
k = 10 kN/mc = 60 N·s/mm = 12 kg

12 kg’lık bir kütle, rijitliği 10 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 60 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 12 kgk = 10 kN/mc = 60 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
k1​ = 30k2​ = 12m = 10 kg

10 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 30 kN/m ve k₂ = 12 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 10 kgk1 = 30 kN/mk2 = 12 kN/m
keq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: Ft = 144,9 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

Pinyondaki tork

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T = P/ω = 1100/303,7 = 3,622 N·m

Bölüm dairesi çapı

d = m·N = 2,5·20 = 50 mm

Teğetsel kuvvet

Ft = 2T/d = 2·3,622/0,05 = 144,9 N

Cevap

Ft = 144,9 N
2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: Tout = 9,803 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Çıkış hızı

nout = 2900·(40/45)·(16/30) = 1375 rpm
ωout = 2π·1375/60 = 144 rad/s

Çıkış gücü ve tork

Pout = 1500·0,97² = 1411 W
Tout = Pout/ωout = 1411/144 = 9,803 N·m

Cevap

Tout = 9,803 N·m
3.Millerin burulması

Cevap: τmax = 39,79 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Her parçadaki gerilme

T = 500 N·m = 500000 N·mm
τAB = 16·500000/(π·60³) = 11,79 MPa
τBC = 16·500000/(π·40³) = 39,79 MPa

Cevap

τmax = 39,79 MPa
4.Millerin burulması

Cevap: τmax = 40,74 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

İç torklar

TC’nin yönü pozitif alınmıştır.

TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC − TB = 1000 − 200 = 800 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İç torku en büyük olan parçada gerilme en büyüktür (aynı çap).

|T|max = 1000 N·m
τmax = 16·1 × 10⁶/(π·50³) = 40,74 MPa

Cevap

τmax = 40,74 MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σy′ = 98,34 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σy′ = 85 − 15·0,6428 − (−30)·0,766 = 98,34 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σx′ = 71,66 MPa, σx′ + σy′ = 170 = σx + σy

Cevap

σy′ = 98,34 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σn = 52,89 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. İnce cidarlı silindir: çevresel gerilme σh = pr/t ve eksenel gerilme σa = pr/(2t); bunlar cidardaki asal gerilmelerdir.

Cidar gerilmeleri

r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 1·400/6 = 66,67 MPa
σa = pr/(2t) = 33,33 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σa), y’yi çevre boyunca (σh) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

σn = 33,33·sin²40° + 66,67·cos²40° = 52,89 MPa

Cevap

σn = 52,89 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 44,79 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·2827) = 2,526 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,25/5,582 × 10⁻⁶ = 44786 N = 44,79 kN

Cevap

P = 44,79 kN
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,91 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 112 MPa
σ2 = 486,3 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ1 = σ1L1/E1 = 112·500/117000 = 0,4788 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 486,3·500/100000 = 2,432 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,91 mm

Cevap

δ = 2,91 mm
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 19,62 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19,62 kN

Cevap

Pcr = 19,62 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 8,812 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/7,5 = 280

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Cevap

σcr = 8,812 MPa
11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,0866

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

cc = 2·√(k·m) = 2·√(10000·12) = 692,8 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/cc = 60/692,8 = 0,0866

Cevap

ζ = 0,0866

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: keq = 42 kN/m

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.

keq = 30 + 12 = 42 kN/m

Cevap

keq = 42 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design