Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Güç
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi
toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Statik çökmeden
ωn = √(g/δst)
Kritik sönüm
cc = 2√(km) = 2mωn
Sönüm oranı
ζ = c/cc
Sönümlü frekans
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar
k = k1 + k2
Seri yaylar
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
d1​ = 100 mmd2​ = 250 mm1450 rpmT1​ = 1200 NT2​ = 300 NP = ?

Bir kayış, 1450 rpm ile dönen 100 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 1200 N, gevşek tarafta 300 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.

d1 = 100 mmn1 = 1450 rpmT1 = 1200 NT2 = 300 N
P = kW
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
d1​ = 200 mmd2​ = 400 mm960 rpmC = 500 mmθ = ?

Açık bir kayış, merkezleri 500 mm arayla duran 200 mm’lik ve 400 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.

d1 = 200 mmd2 = 400 mmC = 500 mm
θ = °
3.Millerin burulmasıOrta
T = 250 N·md = 30 mmL = 2,5 mφ = ?

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 250 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
d = 60 mmT0​ = 1500 N·mACBa = 1,5 mb = 1,2 m

60 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 1,5 m ve B’den 1,2 m uzaklıktaki C’de 1500 N·m tork uygulanıyor. C kesitinin dönme açısı φC değerini derece cinsinden bulun.

d = 60 mmT0 = 1500 N·ma = 1,5 mb = 1,2 mG = 80 GPa
φC = °
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = 40σy​ = 80τxy​ = 60MPa

Bir noktada σₓ = 40 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θs açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σx = 40 MPaσy = 80 MPaτxy = 60 MPa
θs = °
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​τxy​milin üst yüzeyi

40 mm çaplı dolu bir mil, 2000 N·m tork ile birlikte 200 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde en büyük asal gerilme σ1 değerini bulun.

d = 40 mmM = 200 N·mT = 2000 N·m
σ1 = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 10 mmÇelik1 mP = 75 kN

Eksenel yük altında çelik çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 75 kNd = 10 mmL = 1 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 40 mmAlüminyum1 mØ 20 mmÇelik1 mP = 85 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.

P = 85 kNparça 1: Ø40 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 1,5 md = 40 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 1,5 md = 30 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm
σcr = MPa
11.Mekanik titreşimlerOrta
k = 50 kN/mζ = 0,3m = 2 kg

Rijitliği 50 kN/m olan bir yay üzerindeki 2 kg’lık bir kütlenin, 0,3 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı fd değerini Hz cinsinden bulun.

m = 2 kgk = 50 kN/mζ = 0,3
fd = Hz
12.Mekanik titreşimlerZor
k1​ = 50k2​ = 15k3​ = 40m = 100 kg

100 kg’lık bir kütle k₃ = 40 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 50 kN/m ve k₂ = 15 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.

m = 100 kgk1 = 50 kN/mk2 = 15 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 6,833 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış hızı

v = 7,592 m/s

Güç

P = (1200 − 300)·7,592 = 6833 W = 6,833 kW

Cevap

P = 6,833 kW
2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: θ = 156,9 °

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış açısı

asin(0,2) = 11,54°

Sarılma açısı

θ = 180 − 2·11,54 = 156,9°

Cevap

θ = 156,9°
3.Millerin burulması

Cevap: φ = 17,32 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(26000·79522) = 0,3023 rad
φ = 0,3023·180/π = 17,32°

Cevap

φ = 17,32°
4.Millerin burulması

Cevap: φC = 0,5629 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·1,2/2,7 = 666,7 N·m
TB = 1500·1,5/2,7 = 833,3 N·m

C’nin dönmesi

AC parçasını kullanın: A’da ankastredir ve TA taşır.

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 666667·1500/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,009824 rad = 0,5629°

Cevap

φC = 0,5629°
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θs = 9,217 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

στxyCτmax​

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θs = 60/63,25 = 0,9487, sin 2θs = −(−20)/63,25 = 0,3162
2θs = atan2(20, 60) = 18,43°

Elemandaki açı

θs = 9,217°
kontrol: θs − θp = 9,217 − 54,22 = −45°

Cevap

θs = 9,217°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ1 = 175,9 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Yüzeydeki gerilmeler

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·40³) = 31,83 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·40³) = 159,2 MPa
στxyCσ1​σ2​

Mohr dairesi

C = σ/2 = 15,92 MPa
R = √(15,92² + 159,2²) = 159,9 MPa
σ1 = C + R = 175,9 MPa
σ2 = C − R = −144 MPa

Cevap

σ1 = 175,9 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 4,775 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 75·1000/78,54 = 954,9 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 954,9/200000 = 0,004775 = 4775 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,004775·1000 mm = 4,775 mm

Cevap

δ = 4,775 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σmax = 270,6 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 67,64 MPa
σ2 = 270,6 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σmax = 270,6 MPa

Cevap

σmax = 270,6 MPa
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 225 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1050² = 224989 N = 225 kN

Cevap

Pcr = 225 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 4,318 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/7,5 = 400

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Cevap

σcr = 4,318 MPa
11.Mekanik titreşimler

Cevap: fd = 24,01 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ωn = √(50000/2) = 158,1 rad/s
fn = 158,1/(2π) = 25,16 Hz

Sönümlü doğal frekans

fd = fn·√(1 − ζ²) = 25,16·√(1 − 0,3²) = 24,01 Hz

Cevap

fd = 24,01 Hz
12.Mekanik titreşimler

Cevap: fn = 2,504 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k1 ve k2 paraleldir. Bu çift k3 ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k12 = 50 + 15 = 65 kN/m
keq = 65·40/(65 + 40) = 24,76 kN/m

Doğal frekans

ωn = √(24762/100) = 15,74 rad/s
fn = 15,74/(2π) = 2,504 Hz

Cevap

fn = 2,504 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design