Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

2900 rpm ile çalışan 1,5 kW’lık bir motor 18 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 36 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %98. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 1,5 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 18N₂ = 36η = 98%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 1450 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (45 diş) B dişlisini (80 diş) döndürüyor. C dişlisi (20 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (32 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 1450 rpmA = 45B = 80C = 20D = 32

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 15 mm çaplı dolu bir numune 30 N·m torkla burulmuştur. 250 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 2,22° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 30 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 2,22°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 750 dev/dk’da 75 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 75 kWN = 750 rpmd_o = 75 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 140 MPa, σᵧ = 100 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 140 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 40 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 35° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 40 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

bakır çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 85 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) ile alüminyum malzemeden yapılmış bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 500 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 40 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 120 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 120 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 10 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 3 çevrim sonra 5,7 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 10 mmx₃ = 5,7 mmn = 3

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

100 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 30 kN/m ve k₂ = 5 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 100 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 4,939 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/303,7 = 4,939 N·m

Cevap

T₁ = 4,939 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 509,8 rpm

Birinci kademe

n_B = 1450·45/80 = 815,6 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 815,6·20/32 = 509,8 rpm

Cevap

n_out = 509,8 rpm

toplam oran = 2,844 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: G = 38,95 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2,22·π/180 = 0,03875 rad

Kayma modülü

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·250/(4970·0,03875) = 38946 MPa

G = 38,95 GPa

Cevap

G = 38,95 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 13,24 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Polar atalet momenti

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·37,5/2,704 × 10⁶ = 13,24 MPa

Cevap

τ_max = 13,24 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 28,28 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((140 − 100)/2)² + −20²) = 28,28 MPa

Cevap

τ_max = 28,28 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 9,938 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 80 + −40·0,342 + −60·0,9397 = 9,938 MPa

Cevap

σ_θ = 9,938 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 2313 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 85·1000/314,2 = 270,6 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 270,6/117000 = 0,002313 = 2313 µε

Cevap

ε = 2313 µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 14,67 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 40000·98960/381704 = 10370 N

Gerilme

σ₂ = 10370/706,9 = 14,67 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 14,67 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 284,8 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2100² = 284752 N = 284,8 kN

Cevap

P_cr = 284,8 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 58,08 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·120000 = 360000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 58,08 mm

Cevap

d = 58,08 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 120,5, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,02981

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/3)·ln(10/5,7) = 0,1874

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1874/√(39,48 + 0,03511) = 0,02981

Cevap

ζ = 0,02981

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 2,978 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 5 = 35 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(35000/100) = 18,71 rad/s

f_n = 18,71/(2π) = 2,978 Hz

Cevap

f_n = 2,978 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design