Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
1450 rpm ile çalışan 1,1 kW’lık bir motor 48 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 60 dişli bir dişliyi kavrıyor. Kayıpları ihmal edin. Motor milindeki tork T1 değerini bulun.
P = 1,1 kWn1 = 1450 rpmN1 = 48N2 = 60η = 100%
T1 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Bileşik bir dişli dizisinde, 2900 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (24 diş) B dişlisini (50 diş) döndürüyor. C dişlisi (15 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (60 diş) döndürüyor. Çıkış hızı nout değerini bulun.
nin = 2900 rpmA = 24B = 50C = 15D = 60
nout = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 400 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
Dolu bir mil, kayma gerilmesi 75 MPa değerini aşmadan 300 dev/dk’da 10 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.
P = 10 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 30 MPa, σᵧ = 60 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
σx = 30 MPaσy = 60 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
40 mm çaplı dolu bir mil, 500 N·m tork ile birlikte 100 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
d = 40 mmM = 100 N·mT = 500 N·m
τmax = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.
P = 50 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 150 MPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 70 mm, E = 100 GPa, izin verilen gerilme 50 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü Pmax bulun.
çubuk: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPaboru: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.Kolon burkulmasıOrta
alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 5 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 5 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 40 mm’lik bir yer değiştirme tepesini bir çevrim sonra 31,1 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
x0 = 40 mmx1 = 31,1 mmn = 1
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
40 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 60 kN/m, alttakinin k₂ = 10 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 40 kgk1 = 60 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: T1 = 7,244 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Motor torku
ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/151,8 = 7,244 N·m
Cevap
T1 = 7,244 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: nout = 348 rpm
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Birinci kademe
nB = 2900·24/50 = 1392 rpm = nC
İkinci kademe
nout = 1392·15/60 = 348 rpm
Cevap
nout = 348 rpm
toplam oran = 8,333 : 1
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 9,006 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(80000·79522) = 0,1572 rad
φ = 0,1572·180/π = 9,006°
Cevap
φ = 9,006°
4.Millerin burulması
Cevap: d = 27,86 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m
Emniyet gerilmesinden çap
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·75)) = 27,86 mm
Cevap
d = 27,86 mm
Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 42,72 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Mohr dairesinin yarıçapı
τmax = R = √(((30 − 60)/2)² + −40²) = 42,72 MPa
Cevap
τmax = 42,72 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 40,58 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Yüzeydeki gerilmeler
σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·40³) = 15,92 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·40³) = 39,79 MPa
Mohr dairesi
C = σ/2 = 7,958 MPa
R = √(7,958² + 39,79²) = 40,58 MPa
Cevap
τmax = 40,58 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 0,7276 mm
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 50·1000/490,9 = 101,9 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 101,9/70000 = 0,001455 = 1455 µε
Uzama
δ = ε·L = 0,001455·500 mm = 0,7276 mm
Cevap
δ = 0,7276 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: Pmax = 498,7 kN
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Alanlar
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
Birleşik eksenel rijitlik
ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·7461 = 9,975 × 10⁸ N
Belirleyici birim şekil değiştirme
ε = min(0,00075, 0,0005) = 0,0005 (pirinç)
En büyük yük
Pmax = 0,0005·9,975 × 10⁸ = 498728 N = 498,7 kN
Cevap
Pmax = 498,7 kN
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 32,64 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1050² = 32638 N = 32,64 kN
Cevap
Pcr = 32,64 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 34,85 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 34,85 mm
Cevap
d = 34,85 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 229,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,04002
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Logaritmik azalma
δ = (1/1)·ln(40/31,1) = 0,2517
Sönüm oranı
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2517/√(39,48 + 0,06334) = 0,04002
Cevap
ζ = 0,04002
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 2,33 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/60 + 1/10 → keq = 60·10/(60 + 10) = 8,571 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(8571/40) = 14,64 rad/s
fn = 14,64/(2π) = 2,33 Hz
Cevap
fn = 2,33 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design