Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

2900 rpm’deki 0,37 kW’lık bir motor 3 ağızlı bir sonsuz vidayı tahrik ediyor. Sonsuz vida çarkının 36 dişi var ve aktarmanın verimi %85’tür. Çark milindeki çıkış torku T_w değerini bulun.

z = 3N_w = 36n = 2900 rpmP = 0,37 kWη = 85%

T_w = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 1440 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (48 diş) B dişlisini (80 diş) döndürüyor. C dişlisi (15 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (36 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 1440 rpmA = 48B = 80C = 15D = 36

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

40 mm çaplı dolu bir alüminyum mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 2,5 m ve B’den 1,2 m uzaklıktaki C’de 750 N·m tork uygulanıyor. A duvarındaki tepki torku T_A değerini bulun.

d = 40 mmT₀ = 750 N·ma = 2,5 mb = 1,2 m

T_A = N·m

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 20 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 20 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 90 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 45° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 90 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında pirinç çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 115 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 120 kNparça 1: Ø25 mm, 1,5 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø16 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 2 kN/m olan bir yay üzerindeki 5 kg’lık bir kütlenin, 0,45 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 5 kgk = 2 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle k₃ = 30 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 12 kN/m ve k₂ = 100 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_w = 12,43 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Çark hızı

n_w = n·z/N_w = 2900·3/36 = 241,7 rpm

Çıkış torku

ω_w = 2π·241,7/60 = 25,31 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,85·370/25,31 = 12,43 N·m

Cevap

T_w = 12,43 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 360 rpm

Birinci kademe

n_B = 1440·48/80 = 864 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 864·15/36 = 360 rpm

Cevap

n_out = 360 rpm

toplam oran = 4 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 2,806 °

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(26000·251327) = 0,04897 rad

φ = 0,04897·180/π = 2,806°

Cevap

φ = 2,806°

4.Millerin burulması

Cevap: T_A = 243,2 N·m

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca T_A + T_B = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·1,2/3,7 = 243,2 N·m

T_B = 750·2,5/3,7 = 506,8 N·m

Cevap

T_A = 243,2 N·m

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = 19,9 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = 60/78,1 = 0,7682, sin 2θ_s = −(−50)/78,1 = 0,6402

2θ_s = atan2(50, 60) = 39,81°

Elemandaki açı

θ_s = 19,9°

kontrol: θ_s − θ_p = 19,9 − 64,9 = −45°

Cevap

θ_s = 19,9°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = 60 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −60·−1 + 50·0 = 60 MPa

Cevap

τ_θ = 60 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,86 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/201,1 = 572 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 572/100000 = 0,00572 = 5720 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,00572·500 mm = 2,86 mm

Cevap

δ = 2,86 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 7,802 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 244,5 MPa

σ₂ = 596,8 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 244,5·1500/200000 = 1,833 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 596,8·2000/200000 = 5,968 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,802 mm

Cevap

δ = 7,802 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 7,343 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/3500² = 7343 N = 7,343 kN

Cevap

P_cr = 7,343 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 47,98 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/6,25 = 120

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa

Cevap

σ_cr = 47,98 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 2,843 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(2000/5) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3,183 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,183·√(1 − 0,45²) = 2,843 Hz

Cevap

f_d = 2,843 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 5,474 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 12 + 100 = 112 kN/m

k_eq = 112·30/(112 + 30) = 23,66 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(23662/20) = 34,4 rad/s

f_n = 34,4/(2π) = 5,474 Hz

Cevap

f_n = 5,474 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design