Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile çalışan 22 kW’lık bir motor, 30 dişli ve 2,5 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet F_t değerini bulun.

P = 22 kWn = 1440 rpmN₁ = 30m = 2,5 mm

F_t = N

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 20 dişi ve her planet dişlisinin 24 dişi var. Planet taşıyıcısı sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 900 rpm ile döndürülüyor. Çember dişlinin hızı n_r değerini (büyüklük) bulun.

N_s = 20N_p = 24n_s = 900 rpm

n_r = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

2,5 m uzunluğundaki dolu bir alüminyum mil 400 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 3°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 400 N·mL = 2,5 mG = 26 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 500 dev/dk’da 30 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 30 kWN = 500 rpmd_o = 80 mmd_i = 64 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 140 MPa, σᵧ = 90 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 30° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 140 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

30 mm çaplı dolu bir mil, 750 N·m tork ile birlikte 500 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 30 mmM = 500 N·mT = 750 N·m

τ_max = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 40 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 40 mm, uzunluk 200 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,5 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 20 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) ile bakır malzemeden yapılmış bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 500 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 50 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 20 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 3 çevrim sonra 3 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 20 mmx₃ = 3 mmn = 3

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

25 kg’lık bir kütle k₃ = 100 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 100 kN/m ve k₂ = 20 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: F_t = 3890 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Pinyondaki tork

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 22000/150,8 = 145,9 N·m

Bölüm dairesi çapı

d = m·N = 2,5·30 = 75 mm

Teğetsel kuvvet

F_t = 2T/d = 2·145,9/0,075 = 3890 N

Cevap

F_t = 3890 N

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_r = 264,7 rpm

Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.

Çember dişli diş sayısı

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·24 = 68

Taşıyıcı sabitken Willis denklemi

n_c = 0 iken güneş dişlisi, ara dişli gibi davranan planetler aracılığıyla çemberi tahrik eder.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −900·20/68 = −264,7 rpm

|n_r| = 264,7 rpm

Cevap

n_r = 264,7 rpm

Çember güneşe ters yönde döner.

3.Millerin burulması

Cevap: d = 52,3 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·2500/(26000·0,05236) = 734561 mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 52,3 mm

Cevap

d = 52,3 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 9,653 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Polar atalet momenti

J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2,374 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 572958·40/2,374 × 10⁶ = 9,653 MPa

Cevap

τ_max = 9,653 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = 59,2 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 115 − 25·0,5 − 50·0,866 = 59,2 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = 170,8 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 230 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = 59,2 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 170 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·30³) = 188,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·30³) = 141,5 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 94,31 MPa

R = √(94,31² + 141,5²) = 170 MPa

Cevap

τ_max = 170 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 107,3 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1257) = 2,274 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,5/4,661 × 10⁻⁶ = 107274 N = 107,3 kN

Cevap

P = 107,3 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 40,64 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 120000·706,9/500 = 169646 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 50000·169646/295310 = 28723 N

Gerilme

σ₂ = 28723/706,9 = 40,64 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 40,64 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 3,998 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/3000² = 3998 N = 3,998 kN

Cevap

P_cr = 3,998 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 30,71 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Cevap

σ_cr = 30,71 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,1001

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/3)·ln(20/3) = 0,6324

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6324/√(39,48 + 0,3999) = 0,1001

Cevap

ζ = 0,1001

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 7,434 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 100 + 20 = 120 kN/m

k_eq = 120·100/(120 + 100) = 54,55 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(54545/25) = 46,71 rad/s

f_n = 46,71/(2π) = 7,434 Hz

Cevap

f_n = 7,434 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design