Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

2 ağızlı bir sonsuz vida 1440 rpm ile dönüyor ve 36 dişli bir sonsuz vida çarkını tahrik ediyor. Çarkın hızı n_w değerini bulun.

z = 2N_w = 36n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 3000 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (24 diş) B dişlisini (32 diş) döndürüyor. C dişlisi (16 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (36 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 3000 rpmA = 24B = 32C = 16D = 36

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

30 mm çaplı dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. A’dan 1 m uzaklıktaki B’de 400 N·m tork, ondan 2 m daha ötedeki serbest uç C’de ise aynı yönde 750 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 30 mmT_B = 400 N·mT_C = 750 N·mAB = 1 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 80 MPa ve σᵧ = 60 MPa’dır. En büyük asal gerilme 90 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 80 MPaσ_y = 60 MPaσ₁ = 90 MPa

τ_xy = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 0 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 350 MPa’dır. Tresca (en büyük kayma gerilmesi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 0 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 30 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) bakır malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 40 mm, uzunluk 200 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,25 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 25 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) ile bakır malzemeden yapılmış bir kesim (çap 50 mm, uzunluk 300 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 50 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

5 kg’lık bir kütle, rijitliği 50 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 600 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 5 kgk = 50 kN/mc = 600 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 12 kN/m ve k₂ = 20 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_w = 80 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Çark hızı

n_w = n·z/N_w = 1440·2/36 = 80 rpm

Cevap

n_w = 80 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 1000 rpm

Birinci kademe

n_B = 3000·24/32 = 2250 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 2250·16/36 = 1000 rpm

Cevap

n_out = 1000 rpm

toplam oran = 3 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 1,437 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(39000·613592) = 0,02507 rad

φ = 0,02507·180/π = 1,437°

Cevap

φ = 1,437°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 216,9 MPa

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C + T_B = 750 + 400 = 1150 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İç torku en büyük olan parçada gerilme en büyüktür (aynı çap).

|T|_max = 1150 N·m

τ_max = 16·1,15 × 10⁶/(π·30³) = 216,9 MPa

Cevap

τ_max = 216,9 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 17,32 MPa

Gerekli yarıçap

C = (80 + 60)/2 = 70 MPa

R = σ₁ − C = 90 − 70 = 20 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(20² − 10²) = 17,32 MPa

Cevap

τ_xy = 17,32 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 5,754

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 5 MPa, R = 30,41 MPa

σ₁ = 35,41 MPa, σ₂ = −25,41 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 60,83 MPa

n = 350/60,83 = 5,754

Cevap

n = 5,754

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 72,5 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1257) = 1,326 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,25/3,448 × 10⁻⁶ = 72498 N = 72,5 kN

Cevap

P = 72,5 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 19,4 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 120000·1963/300 = 785398 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 50000·785398/1,031 × 10⁶ = 38095 N

Gerilme

σ₂ = 38095/1963 = 19,4 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 19,4 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 506,2 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2800² = 506225 N = 506,2 kN

Cevap

P_cr = 506,2 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 25,18 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/7,5 = 280

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Cevap

σ_cr = 25,18 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,6

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·5) = 1000 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 600/1000 = 0,6

Cevap

ζ = 0,6

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 6,366 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 20 = 32 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(32000/20) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6,366 Hz

Cevap

f_n = 6,366 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design