Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
2900 rpm ile çalışan 1,5 kW’lık bir motor 20 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 48 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %98. Motor milindeki tork T1 değerini bulun.
P = 1,5 kWn1 = 2900 rpmN1 = 20N2 = 48η = 98%
T1 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Açık bir kayış, merkezleri 800 mm arayla duran 160 mm’lik ve 300 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.
d1 = 160 mmd2 = 300 mmC = 800 mm
θ = °
3.Millerin burulmasıOrta
İçi boş bir pirinç mil (dış çap 40 mm, iç çap 24 mm, uzunluk 0,5 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 2000 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 2000 N·mdo = 40 mmdi = 24 mmL = 0,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
İçi boş bir mil 500 dev/dk’da 10 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
P = 10 kWN = 500 rpmdo = 40 mmdi = 28 mm
τmax = MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Bir noktada σₓ = 150 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θs açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).
σx = 150 MPaσy = 80 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 90 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 15° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = 90 MPaσy = −60 MPaτxy = −10 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.
P = 105 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.
P = 80 kNparça 1: Ø35 mm, 0,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1,5 m, çelik (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 4 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 35 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 35 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
8 kg’lık bir kütle, rijitliği 2 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 40 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 8 kgk = 2 kN/mc = 40 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
25 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 12 kN/m, alttakinin k₂ = 12 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.
m = 25 kgk1 = 12 kN/mk2 = 12 kN/m
keq = kN/m
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: T1 = 4,939 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Motor torku
ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/303,7 = 4,939 N·m
Cevap
T1 = 4,939 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: θ = 170 °
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Kayış açısı
asin(0,0875) = 5,02°
Sarılma açısı
θ = 180 − 2·5,02 = 170°
Cevap
θ = 170°
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 6,716 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴
Burulma açısı
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 0,5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·500/(39000·218755) = 0,1172 rad
φ = 0,1172·180/π = 6,716°
Cevap
φ = 6,716°
4.Millerin burulması
Cevap: τmax = 20 MPa
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m
Polar atalet momenti
J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴
En büyük kayma gerilmesi
τmax = T·(do/2)/J = 190986·20/190984 = 20 MPa
Cevap
τmax = 20 MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: θs = −24,7 °
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dairedeki açı
Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.
cos 2θs = 30/46,1 = 0,6508, sin 2θs = −35/46,1 = −0,7593
2θs = atan2(−35, 30) = −49,4°
Elemandaki açı
θs = −24,7°
kontrol: θs − θp = −24,7 − 20,3 = −45°
Cevap
θs = −24,7°
Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = 74,95 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = 15 + 75·0,866 + −10·0,5 = 74,95 MPa
Cevap
σθ = 74,95 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: ε = 3342 µε
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 105·1000/314,2 = 334,2 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 334,2/100000 = 0,003342 = 3342 µε
Cevap
ε = 3342 µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σmax = 254,6 MPa
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 83,15 MPa
σ2 = 254,6 MPa
En büyük gerilme
İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.
σmax = 254,6 MPa
Cevap
σmax = 254,6 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 102,8 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 1·4000 = 4000 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/4000² = 102808 N = 102,8 kN
Cevap
Pcr = 102,8 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 84,76 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2·35000 = 70000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 84,76 mm
Cevap
d = 84,76 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 236, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,1581
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(2000·8) = 253 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 40/253 = 0,1581
Cevap
ζ = 0,1581
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: keq = 6 kN/m
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/12 + 1/12 → keq = 12·12/(12 + 12) = 6 kN/m
Cevap
keq = 6 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design