Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile çalışan 5,5 kW’lık bir motor 20 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 48 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %98. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 5,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 20N₂ = 48η = 98%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

1450 rpm’deki 5,5 kW’lık bir motor A dişlisini (25 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (72 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (15 diş), çıkış milindeki D dişlisini (80 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %95’dır. Çıkış torku T_out değerini bulun.

P = 5,5 kWn_in = 1450 rpmA = 25B = 72C = 15D = 80η_mesh = 95%

T_out = N·m

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md = 30 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1800 rpm’de 20 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,8 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 80 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 20 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −40 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = −40 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 1200 mm ve et kalınlığı 12 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 3 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 55° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σ_n değerini bulun.

D = 1200 mmt = 12 mmp = 3 MPaα = 55°

σ_n = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 25 mm, E = 200 GPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 60 mm, E = 110 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 500 mm’dir ve rijit levhalar arasında 300 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 300 kNçubuk: Ø25 mm, E = 200 GPaboru: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 200 MPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 70 mm, E = 100 GPa, izin verilen gerilme 60 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaboru: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 45 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 45 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

8 kg’lık bir kütle, rijitliği 10 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 60 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 8 kgk = 10 kN/mc = 60 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 10 kN/m, alttakinin k₂ = 5 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 36,47 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/150,8 = 36,47 N·m

Cevap

T₁ = 36,47 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_out = 502,1 N·m

Çıkış hızı

n_out = 1450·(25/72)·(15/80) = 94,4 rpm

ω_out = 2π·94,4/60 = 9,886 rad/s

Çıkış gücü ve tork

P_out = 5500·0,95² = 4964 W

T_out = P_out/ω_out = 4964/9,886 = 502,1 N·m

Cevap

T_out = 502,1 N·m

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 22,17 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(39000·79522) = 0,3869 rad

φ = 0,3869·180/π = 22,17°

Cevap

φ = 22,17°

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 22,53 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 106,1 N·m = 106103 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·106103/(π·80·0,5904)) = 22,53 mm

d_i = 0,8·22,53 = 18,03 mm

Cevap

d_o = 22,53 mm

Dolu bir mil d = 18,9 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = −22,5 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·−20, −40 − −80) = −45°

Elemandaki açı

θ_p = −22,5°

Cevap

θ_p = −22,5°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_n = 99,67 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 3·600/12 = 150 MPa

σ_a = pr/(2t) = 75 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

σ_n = 75·sin²55° + 150·cos²55° = 99,67 MPa

Cevap

σ_n = 99,67 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,2304 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·5027 = 6,511 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 300000·500/6,511 × 10⁸ = 0,2304 mm

Cevap

δ = 0,2304 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 485,4 kN

Alanlar

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·7461 = 8,09 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,001, 0,0006) = 0,0006 (pirinç)

En büyük yük

P_max = 0,0006·8,09 × 10⁸ = 485376 N = 485,4 kN

Cevap

P_max = 485,4 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 83,93 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/1750² = 83925 N = 83,93 kN

Cevap

P_cr = 83,93 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 53,77 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 53,77 mm

Cevap

d = 53,77 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 223,2, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,1061

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·8) = 565,7 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 60/565,7 = 0,1061

Cevap

ζ = 0,1061

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 2,055 Hz

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/10 + 1/5 → k_eq = 10·5/(10 + 5) = 3,333 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(3333/20) = 12,91 rad/s

f_n = 12,91/(2π) = 2,055 Hz

Cevap

f_n = 2,055 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design