Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

2900 rpm ile çalışan 5,5 kW’lık bir motor 12 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 32 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %98. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 5,5 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 12N₂ = 32η = 98%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 960 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (12 diş) B dişlisini (80 diş) döndürüyor. C dişlisi (18 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (72 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 960 rpmA = 12B = 80C = 18D = 72

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 200 N·md = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir pirinç mil 1000 rpm’de 75 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 50 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,5° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 80 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 80 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

30 mm çaplı dolu bir mil, 2000 N·m tork ile birlikte 100 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 30 mmM = 100 N·mT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 105 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 250 MPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 60 mm, E = 120 GPa, izin verilen gerilme 80 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaboru: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 45 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 45 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 5 kN/m olan bir yay üzerindeki 5 kg’lık bir kütlenin, 0,3 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 5 kgk = 5 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

25 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 40 kN/m ve k₂ = 40 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 18,11 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/303,7 = 18,11 N·m

Cevap

T₁ = 18,11 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 36 rpm

Birinci kademe

n_B = 960·12/80 = 144 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 144·18/72 = 36 rpm

Cevap

n_out = 36 rpm

toplam oran = 26,67 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 5,404 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(80000·79522) = 0,09431 rad

φ = 0,09431·180/π = 5,404°

Cevap

φ = 5,404°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 68,04 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Dayanım için çap

T = 716,2 N·m = 716197 N·mm

d_τ = ∛(16·716197/(π·50)) = 41,78 mm

Rijitlik için çap

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·716197/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 68,04 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(41,78, 68,04) = 68,04 mm

Cevap

d = 68,04 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 36,06 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((80 − 120)/2)² + 30²) = 36,06 MPa

Cevap

τ_max = 36,06 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 396,6 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·30³) = 37,73 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·30³) = 377,3 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 18,86 MPa

R = √(18,86² + 377,3²) = 377,7 MPa

σ₁ = C + R = 396,6 MPa

σ₂ = C − R = −358,9 MPa

Cevap

σ₁ = 396,6 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 3342 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 105·1000/314,2 = 334,2 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 334,2/100000 = 0,003342 = 3342 µε

Cevap

ε = 3342 µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 772,8 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·8482 = 1,159 × 10⁹ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,00125, 0,0006667) = 0,0006667 (bakır)

En büyük yük

P_max = 0,0006667·1,159 × 10⁹ = 772832 N = 772,8 kN

Cevap

P_max = 772,8 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 195,3 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1500² = 195340 N = 195,3 kN

Cevap

P_cr = 195,3 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 108,6 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·45000 = 135000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 108,6 mm

Cevap

d = 108,6 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 368,2, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 4,801 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(5000/5) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,3²) = 4,801 Hz

Cevap

f_d = 4,801 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 9,003 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 40 = 80 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(80000/25) = 56,57 rad/s

f_n = 56,57/(2π) = 9,003 Hz

Cevap

f_n = 9,003 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design