Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
2900 rpm ile çalışan 4 kW’lık bir motor 45 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 60 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %95. Dişli milindeki çıkış torku T2 değerini bulun.
P = 4 kWn1 = 2900 rpmN1 = 45N2 = 60η = 95%
T2 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Bileşik bir dişli dizisinde giriş milindeki A dişlisi (12 diş) 2880 rpm ile dönüyor ve B dişlisini (50 diş) tahrik ediyor. C dişlisi (16 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini tahrik ediyor. Çıkış 307,2 rpm ile dönmelidir. D dişlisinin kaç dişi ND olmalıdır?
nin = 2880 rpmA = 12B = 50C = 16nout = 307,2 rpm
ND =
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 250 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 39 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
İçi boş bir mil 300 dev/dk’da 5 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
P = 5 kWN = 300 rpmdo = 60 mmdi = 42 mm
τmax = MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa, σz = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τabs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).
σx = 70 MPaσy = 80 MPaτxy = 50 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 150 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 30° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = 150 MPaσy = −60 MPaτxy = −60 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Eksenel yük altında pirinç çubuğun uzaması δ değerini bulun.
P = 20 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.
P = 90 kNparça 1: Ø40 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø16 mm, 0,5 m, çelik (E = 200 GPa)
δ = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 40 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 40 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
Rijitliği 5 kN/m olan bir yay üzerindeki 2 kg’lık bir kütlenin, 0,4 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı fd değerini Hz cinsinden bulun.
m = 2 kgk = 5 kN/mζ = 0,4
fd = Hz
12.Mekanik titreşimlerZor
20 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 15 kN/m, alttakinin k₂ = 15 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.
m = 20 kgk1 = 15 kN/mk2 = 15 kN/m
keq = kN/m
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: T2 = 16,68 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Motor torku
ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/303,7 = 13,17 N·m
Çıkış torku
T2 = 13,17·60/45·0,95 = 16,68 N·m
Cevap
T2 = 16,68 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: ND = 36
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Ara mil hızı
nB = nC = 2880·12/50 = 691,2 rpm
D dişlisinin diş sayısı
ND = C·nC/nout = 16·691,2/307,2 = 36
Cevap
ND = 36
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 1,169 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(39000·251327) = 0,0204 rad
φ = 0,0204·180/π = 1,169°
Cevap
φ = 1,169°
4.Millerin burulması
Cevap: τmax = 4,938 MPa
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m
Polar atalet momenti
J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴
En büyük kayma gerilmesi
τmax = T·(do/2)/J = 159155·30/966855 = 4,938 MPa
Cevap
τmax = 4,938 MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τabs = 62,62 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σmax − σmin)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.
Düzlem içi asal gerilmeler
C = 75 MPa, R = √((−5)² + 50²) = 50,25 MPa
σ1 = 125,2 MPa, σ2 = 24,75 MPa, σz = 0
Üç dairenin en büyüğü
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(100,5, 125,2, 24,75)/2 = 62,62 MPa
Cevap
τabs = 62,62 MPa
Burada düzlem dışı daire belirleyicidir: mutlak en büyük değer, düzlem içi en büyük değer R’den büyüktür.
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = 45,54 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = 45 + 105·0,5 + −60·0,866 = 45,54 MPa
Cevap
σθ = 45,54 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 0,6366 mm
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 20·1000/314,2 = 63,66 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 63,66/100000 = 0,0006366 = 636,6 µε
Uzama
δ = ε·L = 0,0006366·1000 mm = 0,6366 mm
Cevap
δ = 0,6366 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 2,142 mm
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 71,62 MPa
σ2 = 447,6 MPa
Parça uzamalarını toplayın
δ1 = σ1L1/E1 = 71,62·1000/70000 = 1,023 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 447,6·500/200000 = 1,119 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,142 mm
Cevap
δ = 2,142 mm
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 18,36 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1400² = 18359 N = 18,36 kN
Cevap
Pcr = 18,36 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 55,42 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2·40000 = 80000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 55,42 mm
Cevap
d = 55,42 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 144,3, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: fd = 7,293 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Sönümsüz doğal frekans
ωn = √(5000/2) = 50 rad/s
fn = 50/(2π) = 7,958 Hz
Sönümlü doğal frekans
fd = fn·√(1 − ζ²) = 7,958·√(1 − 0,4²) = 7,293 Hz
Cevap
fd = 7,293 Hz
12.Mekanik titreşimler
Cevap: keq = 7,5 kN/m
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/15 + 1/15 → keq = 15·15/(15 + 15) = 7,5 kN/m
Cevap
keq = 7,5 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design