Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

Bir kayış, 1450 rpm ile dönen 100 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 600 N, gevşek tarafta 120 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.

d₁ = 100 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 600 NT₂ = 120 N

P = kW

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde giriş milindeki A dişlisi (25 diş) 960 rpm ile dönüyor ve B dişlisini (60 diş) tahrik ediyor. C dişlisi (16 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini tahrik ediyor. Çıkış 200 rpm ile dönmelidir. D dişlisinin kaç dişi N_D olmalıdır?

n_in = 960 rpmA = 25B = 60C = 16n_out = 200 rpm

N_D =

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir çelik mil (dış çap 30 mm, iç çap 23 mm, uzunluk 1,5 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 200 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 200 N·md_o = 30 mmd_i = 23 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

30 mm çaplı dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. A’dan 1,5 m uzaklıktaki B’de 1000 N·m tork, ondan 1 m daha ötedeki serbest uç C’de ise ters yönde 100 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 30 mmT_B = 1000 N·mT_C = 100 N·mAB = 1,5 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = −30 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 40° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = −30 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

20 mm çaplı dolu bir mil, 100 N·m tork ile birlikte 20 kN eksenel çekme kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 20 mmF = 20 kNT = 100 N·m

σ₁ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 60 mm, E = 110 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 300 mm’dir ve rijit levhalar arasında 200 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 200 kNçubuk: Ø40 mm, E = 200 GPaboru: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 120 MPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 60 mm, E = 100 GPa, izin verilen gerilme 100 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaboru: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 15 kN/m olan bir yay üzerindeki 10 kg’lık bir kütlenin, 0,45 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 10 kgk = 15 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

50 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 5 kN/m ve k₂ = 5 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 3,644 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış hızı

v = 7,592 m/s

Güç

P = (600 − 120)·7,592 = 3644 W = 3,644 kW

Cevap

P = 3,644 kW

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N_D = 32

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Ara mil hızı

n_B = n_C = 960·25/60 = 400 rpm

D dişlisinin diş sayısı

N_D = C·n_C/n_out = 16·400/200 = 32

Cevap

N_D = 32

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 4,128 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(30⁴ − 23⁴)/32 = 52048 mm⁴

Burulma açısı

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 200000·1500/(80000·52048) = 0,07205 rad

φ = 0,07205·180/π = 4,128°

Cevap

φ = 4,128°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 169,8 MPa

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 1000 = −900 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İç torku en büyük olan parçada gerilme en büyüktür (aynı çap).

|T|_max = 900 N·m

τ_max = 16·900000/(π·30³) = 169,8 MPa

Cevap

τ_max = 169,8 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = −108,6 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = −55 − 25·0,1736 − 50·0,9848 = −108,6 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = −1,418 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −110 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = −108,6 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 103 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = 20000/(π·20²/4) = 20000/314,2 = 63,66 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·20³) = 63,66 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 31,83 MPa

R = √(31,83² + 63,66²) = 71,18 MPa

σ₁ = C + R = 103 MPa

σ₂ = C − R = −39,35 MPa

Cevap

σ₁ = 103 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,0746 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5027 = 8,042 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 200000·300/8,042 × 10⁸ = 0,0746 mm

Cevap

δ = 0,0746 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 216,8 kN

Alanlar

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·2199 = 3,613 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,0006, 0,001) = 0,0006 (çelik)

En büyük yük

P_max = 0,0006·3,613 × 10⁸ = 216770 N = 216,8 kN

Cevap

P_max = 216,8 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 2,768 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1400² = 2768 N = 2,768 kN

Cevap

P_cr = 2,768 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 15,67 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/20 = 210

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15,67 MPa

Cevap

σ_cr = 15,67 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 5,505 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(15000/10) = 38,73 rad/s

f_n = 38,73/(2π) = 6,164 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6,164·√(1 − 0,45²) = 5,505 Hz

Cevap

f_d = 5,505 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 2,251 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 5 = 10 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(10000/50) = 14,14 rad/s

f_n = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Cevap

f_n = 2,251 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design