Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

2900 rpm ile çalışan 7,5 kW’lık bir motor 18 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 48 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %96. Dişli milindeki çıkış torku T₂ değerini bulun.

P = 7,5 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 18N₂ = 48η = 96%

T₂ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, 720 rpm ile dönen 160 mm’lik bir tahrik kasnağını 250 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 1200 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,25 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 1200 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).

d₁ = 160 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 250 mmC = 1200 mmμ = 0,25T₁ = 1200 N

P = kW

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 250 N·md = 40 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 40 MPa değerini aşmadan 1500 dev/dk’da 100 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 100 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 120 MPa, σᵧ = 50 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 120 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

25 mm çaplı dolu bir mil, 750 N·m tork ile birlikte 300 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 25 mmM = 300 N·mT = 750 N·m

σ₁ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 60 mm, E = 110 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 600 mm’dir ve rijit levhalar arasında 300 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 300 kNçubuk: Ø20 mm, E = 200 GPaboru: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 200 MPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 60 mm, E = 110 GPa, izin verilen gerilme 60 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaboru: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 12 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 4 çevrim sonra 4,4 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 12 mmx₄ = 4,4 mmn = 4

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

50 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 10 kN/m, alttakinin k₂ = 80 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₂ = 63,22 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/303,7 = 24,7 N·m

Çıkış torku

T₂ = 24,7·48/18·0,96 = 63,22 N·m

Cevap

T₂ = 63,22 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 3,876 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Sarılma açısı

θ = 3,067 rad

Gevşek taraftaki çekme kuvveti

e^μθ = e^0,7666 = 2,153, T₂ = 1200/2,153 = 557,5 N

Güç

P = (1200 − 557,5)·6,032 = 3,876 kW

Cevap

P = 3,876 kW

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,7307 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(39000·251327) = 0,01275 rad

φ = 0,01275·180/π = 0,7307°

Cevap

φ = 0,7307°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 43,28 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·40)) = 43,28 mm

Cevap

d = 43,28 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −65,3 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = −30/46,1 = −0,6508, sin 2θ_s = −35/46,1 = −0,7593

2θ_s = atan2(−35, −30) = −130,6°

Elemandaki açı

θ_s = −65,3°

kontrol: θ_s − θ_p = −65,3 − (−20,3) = −45°

Cevap

θ_s = −65,3°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 361,1 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·25³) = 195,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·25³) = 244,5 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 97,78 MPa

R = √(97,78² + 244,5²) = 263,3 MPa

σ₁ = C + R = 361,1 MPa

σ₂ = C − R = −165,5 MPa

Cevap

σ₁ = 361,1 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,2923 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·5027 = 6,158 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 300000·600/6,158 × 10⁸ = 0,2923 mm

Cevap

δ = 0,2923 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 646 kN

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·8482 = 1,184 × 10⁹ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,001, 0,0005455) = 0,0005455 (bronz)

En büyük yük

P_max = 0,0005455·1,184 × 10⁹ = 646026 N = 646 kN

Cevap

P_max = 646 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 38,59 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/6000² = 38586 N = 38,59 kN

Cevap

P_cr = 38,59 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 11,05 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Cevap

σ_cr = 11,05 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,03989

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/4)·ln(12/4,4) = 0,2508

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2508/√(39,48 + 0,06291) = 0,03989

Cevap

ζ = 0,03989

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 8,889 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/10 + 1/80 → k_eq = 10·80/(10 + 80) = 8,889 kN/m

Cevap

k_eq = 8,889 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design