Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Güç
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi
toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Statik çökmeden
ωn = √(g/δst)
Kritik sönüm
cc = 2√(km) = 2mωn
Sönüm oranı
ζ = c/cc
Sönümlü frekans
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar
k = k1 + k2
Seri yaylar
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
N1​ = 16N2​ = 40

2900 rpm ile çalışan 1,5 kW’lık bir motor 16 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 40 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %96. Motor milindeki tork T1 değerini bulun.

P = 1,5 kWn1 = 2900 rpmN1 = 16N2 = 40η = 96%
T1 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
A = 16B = 30C = 12D = 16

Bileşik bir dişli dizisinde, 1450 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (16 diş) B dişlisini (30 diş) döndürüyor. C dişlisi (12 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (16 diş) döndürüyor. Çıkış hızı nout değerini bulun.

nin = 1450 rpmA = 16B = 30C = 12D = 16
nout = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
d = ?T = 250 N·mL = 0,8 m

0,8 m uzunluğundaki dolu bir alüminyum mil 250 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 0,5°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 250 N·mL = 0,8 mG = 26 GPaφallow = 0,5°
d = mm
4.Millerin burulmasıZor
Td = ?

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 50 MPa değerini aşmadan 750 dev/dk’da 20 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kWN = 750 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = 140σy​ = 40τxy​ = −60MPa

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 40 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa, σz = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τabs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σx = 140 MPaσy = 40 MPaτxy = −60 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​ = 110σy​ = −50τxy​ = 20MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 110 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 40° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τθ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σx = 110 MPaσy = −50 MPaτxy = 20 MPaθ = 40°
τθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 30 mmÇelik1 mP = 10 kN

çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 10 kNd = 30 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 40 mmÇelik0,5 mØ 12 mmPirinç2 mP = 55 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.

P = 55 kNparça 1: Ø40 mm, 0,5 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø12 mm, 2 m, pirinç (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 3 md = 60 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 4 md = 60 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm
σcr = MPa
11.Mekanik titreşimlerOrta
tx10 mm1 çevrim3,9 mm

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 10 mm’lik bir yer değiştirme tepesini bir çevrim sonra 3,9 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x0 = 10 mmx1 = 3,9 mmn = 1
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
k1​ = 12k2​ = 20m = 100 kg

100 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 12 kN/m ve k₂ = 20 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.

m = 100 kgk1 = 12 kN/mk2 = 20 kN/m
fn = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T1 = 4,939 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/303,7 = 4,939 N·m

Cevap

T1 = 4,939 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: nout = 580 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Birinci kademe

nB = 1450·16/30 = 773,3 rpm = nC

İkinci kademe

nout = 773,3·12/16 = 580 rpm

Cevap

nout = 580 rpm

toplam oran = 2,5 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: d = 54,74 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 0,8 m = 800 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad
J = TL/(Gφ) = 250000·800/(26000·0,008727) = 881474 mm⁴

Çap

d = (32J/π)1/4 = 54,74 mm

Cevap

d = 54,74 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 29,6 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·254648/(π·50)) = 29,6 mm

Cevap

d = 29,6 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τabs = 84,05 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σmax − σmin)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

στxyCσ1​σ2​

Düzlem içi asal gerilmeler

C = 90 MPa, R = √(50² + (−60)²) = 78,1 MPa
σ1 = 168,1 MPa, σ2 = 11,9 MPa, σz = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(156,2, 168,1, 11,9)/2 = 84,05 MPa

Cevap

τabs = 84,05 MPa

Burada düzlem dışı daire belirleyicidir: mutlak en büyük değer, düzlem içi en büyük değer R’den büyüktür.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τθ = −75,31 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dönüşüm denklemi

τθ = −80·0,9848 + 20·0,1736 = −75,31 MPa

Cevap

τθ = −75,31 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 70,74 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 10·1000/706,9 = 14,15 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 14,15/200000 = 7,074 × 10⁻⁵ = 70,74 µε

Cevap

ε = 70,74 µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σmax = 486,3 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 43,77 MPa
σ2 = 486,3 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σmax = 486,3 MPa

Cevap

σmax = 486,3 MPa
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 284,8 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2100² = 284752 N = 284,8 kN

Cevap

Pcr = 284,8 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 27,76 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/15 = 266,7

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Cevap

σcr = 27,76 MPa
11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,1482

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/1)·ln(10/3,9) = 0,9416

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9416/√(39,48 + 0,8866) = 0,1482

Cevap

ζ = 0,1482
12.Mekanik titreşimler

Cevap: fn = 2,847 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.

keq = 12 + 20 = 32 kN/m

Doğal frekans

ωn = √(32000/100) = 17,89 rad/s
fn = 17,89/(2π) = 2,847 Hz

Cevap

fn = 2,847 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design