Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm’deki 2,2 kW’lık bir motor 4 ağızlı bir sonsuz vidayı tahrik ediyor. Sonsuz vida çarkının 45 dişi var ve aktarmanın verimi %80’tür. Çark milindeki çıkış torku T_w değerini bulun.

z = 4N_w = 45n = 1440 rpmP = 2,2 kWη = 80%

T_w = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, 1450 rpm ile dönen 100 mm’lik bir tahrik kasnağını 500 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 1000 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,35 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 1200 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).

d₁ = 100 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 500 mmC = 1000 mmμ = 0,35T₁ = 1200 N

P = kW

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 60 MPa değerini aşmadan 500 dev/dk’da 5 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 5 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 70 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 70 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −60 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 60° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = −60 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında çelik çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 55 kNd = 12 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) ile bronz malzemeden yapılmış bir kesim (çap 50 mm, uzunluk 500 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 40 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

2 kg’lık bir kütle, rijitliği 80 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 240 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 2 kgk = 80 kN/mc = 240 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 50 kN/m, alttakinin k₂ = 20 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_w = 131,3 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Çark hızı

n_w = n·z/N_w = 1440·4/45 = 128 rpm

Çıkış torku

ω_w = 2π·128/60 = 13,4 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,8·2200/13,4 = 131,3 N·m

Cevap

T_w = 131,3 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 5,617 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Sarılma açısı

θ = 2,739 rad

Gevşek taraftaki çekme kuvveti

e^μθ = e^0,9586 = 2,608, T₂ = 1200/2,608 = 460,1 N

Güç

P = (1200 − 460,1)·7,592 = 5,617 kW

Cevap

P = 5,617 kW

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 3,507 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(26000·251327) = 0,06121 rad

φ = 0,06121·180/π = 3,507°

Cevap

φ = 3,507°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 20,09 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·60)) = 20,09 mm

Cevap

d = 20,09 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 20,62 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((70 − 80)/2)² + −20²) = 20,62 MPa

Cevap

τ_max = 20,62 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 5,801 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = −45 + −15·−0,5 + 50·0,866 = 5,801 MPa

Cevap

σ_θ = 5,801 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,432 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 55·1000/113,1 = 486,3 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 486,3/200000 = 0,002432 = 2432 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,002432·1000 mm = 2,432 mm

Cevap

δ = 2,432 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 11,2 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 110000·1963/500 = 431969 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 40000·431969/785398 = 22000 N

Gerilme

σ₂ = 22000/1963 = 11,2 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 11,2 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 69,09 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1500² = 69087 N = 69,09 kN

Cevap

P_cr = 69,09 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 8,812 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/5 = 280

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Cevap

σ_cr = 8,812 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,3

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·2) = 800 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 240/800 = 0,3

Cevap

ζ = 0,3

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 14,29 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/20 → k_eq = 50·20/(50 + 20) = 14,29 kN/m

Cevap

k_eq = 14,29 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design