Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
1450 rpm ile çalışan 1,1 kW’lık bir motor 12 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 50 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %96. Dişli milindeki çıkış torku T2 değerini bulun.
P = 1,1 kWn1 = 1450 rpmN1 = 12N2 = 50η = 96%
T2 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
1440 rpm’deki 11 kW’lık bir motor A dişlisini (18 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (32 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (18 diş), çıkış milindeki D dişlisini (80 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %97’dır. Çıkış torku Tout değerini bulun.
P = 11 kWnin = 1440 rpmA = 18B = 32C = 18D = 80ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.Millerin burulmasıOrta
Kademeli dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 75 mm ve uzunluğu 0,5 m; BC parçasının çapı 50 mm ve uzunluğu 2,5 m’dir. Serbest uç C’de 250 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısı φC değerini derece cinsinden bulun.
T = 250 N·md1 = 75 mm, L1 = 0,5 md2 = 50 mm, L2 = 2,5 mG = 39 GPa
φC = °
4.Millerin burulmasıZor
İçi boş bir mil 1500 dev/dk’da 100 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
P = 100 kWN = 1500 rpmdo = 75 mmdi = 53 mm
τmax = MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 70 MPa, σᵧ = −70 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θp değerini −90° ile 90° arasında bulun.
σx = 70 MPaσy = −70 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 160 MPa, σᵧ = 20 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 15° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = 160 MPaσy = 20 MPaτxy = −60 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
bakır çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.
P = 90 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.
P = 30 kNparça 1: Ø40 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø12 mm, 2 m, bakır (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 3 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.
L = 2 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm
σcr = MPa
11.Mekanik titreşimlerOrta
2 kg’lık bir kütle, rijitliği 50 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 380 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 2 kgk = 50 kN/mc = 380 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
100 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 100 kN/m ve k₂ = 80 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.
m = 100 kgk1 = 100 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: T2 = 28,98 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Motor torku
ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/151,8 = 7,244 N·m
Çıkış torku
T2 = 7,244·50/12·0,96 = 28,98 N·m
Cevap
T2 = 28,98 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: Tout = 542,3 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Çıkış hızı
nout = 1440·(18/32)·(18/80) = 182,3 rpm
ωout = 2π·182,3/60 = 19,09 rad/s
Çıkış gücü ve tork
Pout = 11000·0,97² = 10350 W
Tout = Pout/ωout = 10350/19,09 = 542,3 N·m
Cevap
Tout = 542,3 N·m
3.Millerin burulması
Cevap: φC = 1,556 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momentleri
J1 = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Her parçanın burulması
T = 250 N·m = 250000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 250000·500/(39000·3,106 × 10⁶) = 0,001032 rad
φBC = 250000·2500/(39000·613592) = 0,02612 rad
Toplam burulma
φC = 0,001032 + 0,02612 = 0,02715 rad = 1,556°
Cevap
φC = 1,556°
4.Millerin burulması
Cevap: τmax = 10,24 MPa
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m
Polar atalet momenti
J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2,332 × 10⁶ mm⁴
En büyük kayma gerilmesi
τmax = T·(do/2)/J = 636620·37,5/2,332 × 10⁶ = 10,24 MPa
Cevap
τmax = 10,24 MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: θp = −11,6 °
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dairedeki açı
Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.
2θp = atan2(2·−30, 70 − −70) = −23,2°
Elemandaki açı
θp = −11,6°
Cevap
θp = −11,6°
Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = 120,6 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = 90 + 70·0,866 + −60·0,5 = 120,6 MPa
Cevap
σθ = 120,6 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: ε = 1567 µε
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 90·1000/490,9 = 183,3 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 183,3/117000 = 0,001567 = 1567 µε
Cevap
ε = 1567 µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σmax = 265,3 MPa
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 23,87 MPa
σ2 = 265,3 MPa
En büyük gerilme
İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.
σmax = 265,3 MPa
Cevap
σmax = 265,3 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 46,79 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/1500² = 46789 N = 46,79 kN
Cevap
Pcr = 46,79 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: σcr = 6,94 MPa
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Atalet yarıçapı ve narinlik
A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/7,5 = 533,3
Kritik gerilme
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa
Cevap
σcr = 6,94 MPa
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,6008
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·2) = 632,5 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 380/632,5 = 0,6008
Cevap
ζ = 0,6008
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: keq = 180 kN/m
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.
keq = 100 + 80 = 180 kN/m
Cevap
keq = 180 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design