Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

İki paralel mil arasında 150 mm mesafe var. Bunlar 3 mm modüllü ve 4 : 1 hız düşürme oranlı bir çift düz dişliyle bağlanmalıdır. Pinyonun kaç dişi N₁ olmalıdır?

a = 150 mmm = 3 mmi = 4

N₁ =

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 2900 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (15 diş) B dişlisini (18 diş) döndürüyor. C dişlisi (24 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (48 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 2900 rpmA = 15B = 18C = 24D = 48

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 10 mm çaplı dolu bir numune 40 N·m torkla burulmuştur. 200 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 5,84° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 40 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 5,84°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 500 dev/dk’da 100 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 75 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = −20 MPa ve σᵧ = −60 MPa’dır. En büyük asal gerilme 5 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = −20 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = 5 MPa

τ_xy = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −80 MPa, σᵧ = 70 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 50° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = −80 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 25 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) pirinç malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 50 mm, uzunluk 300 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,4 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 25 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) ile alüminyum malzemeden yapılmış bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 200 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 40 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 12 kN/m olan bir yay üzerindeki 50 kg’lık bir kütlenin, 0,7 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 50 kgk = 12 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

10 kg’lık bir kütle k₃ = 20 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 12 kN/m ve k₂ = 5 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 10 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N₁ = 20

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Toplam diş sayısı

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·150/3 = 100

Orana göre bölün

N₁ = 100/(1 + 4) = 20

Cevap

N₁ = 20

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 1208 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Birinci kademe

n_B = 2900·15/18 = 2417 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 2417·24/48 = 1208 rpm

Cevap

n_out = 1208 rpm

toplam oran = 2,4 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: G = 79,95 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 5,84·π/180 = 0,1019 rad

Kayma modülü

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·200/(981,7·0,1019) = 79947 MPa

G = 79,95 GPa

Cevap

G = 79,95 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 24,68 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Polar atalet momenti

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,91 × 10⁶·37,5/2,902 × 10⁶ = 24,68 MPa

Cevap

τ_max = 24,68 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 40,31 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Gerekli yarıçap

C = (−20 + (−60))/2 = −40 MPa

R = σ₁ − C = 5 − (−40) = 45 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 20²) = 40,31 MPa

Cevap

τ_xy = 40,31 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = 68,65 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −−75·0,9848 + 30·−0,1736 = 68,65 MPa

Cevap

τ_θ = 68,65 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 87,27 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1963) = 1,528 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,4/4,584 × 10⁻⁶ = 87266 N = 87,27 kN

Cevap

P = 87,27 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 20,43 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 70000·1257/200 = 439823 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 40000·439823/685260 = 25673 N

Gerilme

σ₂ = 25673/1257 = 20,43 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 20,43 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 23,03 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1000² = 23029 N = 23,03 kN

Cevap

P_cr = 23,03 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 7,676 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Cevap

σ_cr = 7,676 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 1,761 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(12000/50) = 15,49 rad/s

f_n = 15,49/(2π) = 2,466 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,466·√(1 − 0,7²) = 1,761 Hz

Cevap

f_d = 1,761 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 4,825 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 12 + 5 = 17 kN/m

k_eq = 17·20/(17 + 20) = 9,189 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(9189/10) = 30,31 rad/s

f_n = 30,31/(2π) = 4,825 Hz

Cevap

f_n = 4,825 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design