Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1450 rpm ile çalışan 11 kW’lık bir motor, 18 dişli ve 3 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet F_t değerini bulun.

P = 11 kWn = 1450 rpmN₁ = 18m = 3 mm

F_t = N

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

1450 rpm’deki 5,5 kW’lık bir motor A dişlisini (15 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (25 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (12 diş), çıkış milindeki D dişlisini (18 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %98’dır. Çıkış torku T_out değerini bulun.

P = 5,5 kWn_in = 1450 rpmA = 15B = 25C = 12D = 18η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Millerin burulmasıOrta

Kademeli dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 30 mm ve uzunluğu 3 m; BC parçasının çapı 25 mm ve uzunluğu 2,5 m’dir. Serbest uç C’de 400 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

T = 400 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 3 md₂ = 25 mm, L₂ = 2,5 m

τ_max = MPa

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1800 rpm’de 5 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,5 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 40 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 5 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 70 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 20° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 70 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 40 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 250 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 40 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 20 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) pirinç malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 30 mm, uzunluk 400 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,4 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 25 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 200 MPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 70 mm, E = 100 GPa, izin verilen gerilme 80 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaboru: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 50 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 50 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 50 kN/m olan bir yay üzerindeki 5 kg’lık bir kütlenin, 0,35 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 5 kgk = 50 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

50 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 20 kN/m, alttakinin k₂ = 10 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 50 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: F_t = 2683 N

Dişli geometrisi: m modülü diş boyutunu belirler. N dişli bir dişlinin bölüm dairesi çapı d = m·N’dir, birbirine geçen iki dişlinin modülü aynıdır ve eksenler arası mesafeleri a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2’dir. Bölüm dairesi hızı v = π·d·n/60’tır ve teğetsel diş kuvveti torktan bulunur: F_t = 2T/d.

Pinyondaki tork

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 11000/151,8 = 72,44 N·m

Bölüm dairesi çapı

d = m·N = 3·18 = 54 mm

Teğetsel kuvvet

F_t = 2T/d = 2·72,44/0,054 = 2683 N

Cevap

F_t = 2683 N

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_out = 86,97 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Çıkış hızı

n_out = 1450·(15/25)·(12/18) = 580 rpm

ω_out = 2π·580/60 = 60,74 rad/s

Çıkış gücü ve tork

P_out = 5500·0,98² = 5282 W

T_out = P_out/ω_out = 5282/60,74 = 86,97 N·m

Cevap

T_out = 86,97 N·m

3.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 130,4 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Her parçadaki gerilme

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·25³) = 130,4 MPa

Cevap

τ_max = 130,4 MPa

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 15,33 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 5000/188,5 = 26,53 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 26,53 N·m = 26526 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·26526/(π·40·0,9375)) = 15,33 mm

d_i = 0,5·15,33 = 7,665 mm

Cevap

d_o = 15,33 mm

Dolu bir mil d = 15 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = −64,08 MPa

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 5 − 65·0,766 − 30·0,6428 = −64,08 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = 74,08 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = −64,08 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 2,665

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = −10 MPa, R = 53,85 MPa

σ₁ = 43,85 MPa, σ₂ = −63,85 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(43,85² − 43,85·(−63,85) + (−63,85)²) = 93,81 MPa

n = 250/93,81 = 2,665

Cevap

n = 2,665

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 29,38 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·706,9) = 5,659 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,4/1,362 × 10⁻⁵ = 29376 N = 29,38 kN

Cevap

P = 29,38 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 675,4 kN

Alanlar

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·7461 = 8,443 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,001, 0,0008) = 0,0008 (pirinç)

En büyük yük

P_max = 0,0008·8,443 × 10⁸ = 675442 N = 675,4 kN

Cevap

P_max = 675,4 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 8,721 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·6000 = 12000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/12000² = 8721 N = 8,721 kN

Cevap

P_cr = 8,721 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 71,77 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 71,77 mm

Cevap

d = 71,77 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 167,2, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 14,91 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(50000/5) = 100 rad/s

f_n = 100/(2π) = 15,92 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 15,92·√(1 − 0,35²) = 14,91 Hz

Cevap

f_d = 14,91 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 1,838 Hz

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/10 → k_eq = 20·10/(20 + 10) = 6,667 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(6667/50) = 11,55 rad/s

f_n = 11,55/(2π) = 1,838 Hz

Cevap

f_n = 1,838 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design