Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile çalışan 2,2 kW’lık bir motor 20 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 36 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %96. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 2,2 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 20N₂ = 36η = 96%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde giriş milindeki A dişlisi (40 diş) 1500 rpm ile dönüyor ve B dişlisini (50 diş) tahrik ediyor. C dişlisi (72 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini tahrik ediyor. Çıkış 1080 rpm ile dönmelidir. D dişlisinin kaç dişi N_D olmalıdır?

n_in = 1500 rpmA = 40B = 50C = 72n_out = 1080 rpm

N_D =

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 12 mm çaplı dolu bir numune 100 N·m torkla burulmuştur. 250 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 8,8° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 100 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 8,8°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1000 dev/dk’da 30 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 30 kWN = 1000 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = −40 MPa ve σᵧ = 0 MPa’dır. En büyük asal gerilme 25 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = −40 MPaσ_y = 0 MPaσ₁ = 25 MPa

τ_xy = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 150 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 250 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 150 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 40 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) bakır malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 40 mm, uzunluk 200 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,3 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 105 kNparça 1: Ø35 mm, 0,5 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø20 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 25 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 4 çevrim sonra 0,6 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 25 mmx₄ = 0,6 mmn = 4

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

100 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 12 kN/m, alttakinin k₂ = 12 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 100 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 14,59 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/150,8 = 14,59 N·m

Cevap

T₁ = 14,59 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Ara mil hızı

n_B = n_C = 1500·40/50 = 1200 rpm

D dişlisinin diş sayısı

N_D = C·n_C/n_out = 72·1200/1080 = 80

Cevap

N_D = 80

3.Millerin burulması

Cevap: G = 79,96 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 8,8·π/180 = 0,1536 rad

Kayma modülü

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·250/(2036·0,1536) = 79957 MPa

G = 79,96 GPa

Cevap

G = 79,96 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 15,36 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Polar atalet momenti

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 286479·25/466269 = 15,36 MPa

Cevap

τ_max = 15,36 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 40,31 MPa

Gerekli yarıçap

C = (−40 + 0)/2 = −20 MPa

R = σ₁ − C = 25 − (−20) = 45 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 20²) = 40,31 MPa

Cevap

τ_xy = 40,31 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 1,413

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 55 MPa, R = 97,08 MPa

σ₁ = 152,1 MPa, σ₂ = −42,08 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(152,1² − 152,1·(−42,08) + (−42,08)²) = 176,9 MPa

n = 250/176,9 = 1,413

Cevap

n = 1,413

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 90,48 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1257) = 1,326 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,3/3,316 × 10⁻⁶ = 90478 N = 90,48 kN

Cevap

P = 90,48 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 334,2 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 109,1 MPa

σ₂ = 334,2 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 334,2 MPa

Cevap

σ_max = 334,2 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 14,28 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/3000² = 14279 N = 14,28 kN

Cevap

P_cr = 14,28 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 11,99 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Cevap

σ_cr = 11,99 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,1468

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/4)·ln(25/0,6) = 0,9324

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9324/√(39,48 + 0,8694) = 0,1468

Cevap

ζ = 0,1468

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 1,233 Hz

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/12 → k_eq = 12·12/(12 + 12) = 6 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(6000/100) = 7,746 rad/s

f_n = 7,746/(2π) = 1,233 Hz

Cevap

f_n = 1,233 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design