Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

960 rpm ile çalışan 7,5 kW’lık bir motor 24 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 25 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %95. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 7,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 24N₂ = 25η = 95%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

2900 rpm’deki 1,5 kW’lık bir motor A dişlisini (25 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (60 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (24 diş), çıkış milindeki D dişlisini (25 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %95’dır. Çıkış torku T_out değerini bulun.

P = 1,5 kWn_in = 2900 rpmA = 25B = 60C = 24D = 25η_mesh = 95%

T_out = N·m

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir çelik mil (dış çap 30 mm, iç çap 21 mm, uzunluk 1,5 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 400 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md_o = 30 mmd_i = 21 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir çelik mil 500 rpm’de 10 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 40 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,75° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 120 MPa, σᵧ = 110 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 120 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −40 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 40° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = −40 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 35 kNd = 16 mmL = 2 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 80 kNparça 1: Ø30 mm, 0,5 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø16 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 5 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 5 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 30 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 5 çevrim sonra 4,5 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 30 mmx₅ = 4,5 mmn = 5

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 15 kN/m, alttakinin k₂ = 100 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 74,6 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/100,5 = 74,6 N·m

Cevap

T₁ = 74,6 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_out = 11,14 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Çıkış hızı

n_out = 2900·(25/60)·(24/25) = 1160 rpm

ω_out = 2π·1160/60 = 121,5 rad/s

Çıkış gücü ve tork

P_out = 1500·0,95² = 1354 W

T_out = P_out/ω_out = 1354/121,5 = 11,14 N·m

Cevap

T_out = 11,14 N·m

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 7,111 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

Burulma açısı

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1500/(80000·60428) = 0,1241 rad

φ = 0,1241·180/π = 7,111°

Cevap

φ = 7,111°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 36,92 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Dayanım için çap

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·40)) = 28,97 mm

Rijitlik için çap

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 36,92 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(28,97, 36,92) = 36,92 mm

Cevap

d = 36,92 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 40,27 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·30, 120 − 110) = 80,54°

Elemandaki açı

θ_p = 40,27°

Cevap

θ_p = 40,27°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = 87,47 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −−80·0,9848 + 50·0,1736 = 87,47 MPa

Cevap

τ_θ = 87,47 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,976 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 35·1000/201,1 = 174,1 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 174,1/117000 = 0,001488 = 1488 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,001488·2000 mm = 2,976 mm

Cevap

δ = 2,976 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 11,65 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 113,2 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 113,2·500/200000 = 0,2829 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 397,9·2000/70000 = 11,37 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 11,65 mm

Cevap

δ = 11,65 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 44,29 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1400² = 44295 N = 44,29 kN

Cevap

P_cr = 44,29 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 19,42 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 19,42 mm

Cevap

d = 19,42 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 216,3, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,06028

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/5)·ln(30/4,5) = 0,3794

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3794/√(39,48 + 0,144) = 0,06028

Cevap

ζ = 0,06028

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 8,129 Hz

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/100 → k_eq = 15·100/(15 + 100) = 13,04 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(13043/5) = 51,08 rad/s

f_n = 51,08/(2π) = 8,129 Hz

Cevap

f_n = 8,129 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design