Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1450 rpm ile çalışan 2,2 kW’lık bir motor, 20 dişli ve 2,5 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet F_t değerini bulun.

P = 2,2 kWn = 1450 rpmN₁ = 20m = 2,5 mm

F_t = N

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 15 dişi ve her planet dişlisinin 12 dişi var. Planet taşıyıcısı sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 600 rpm ile döndürülüyor. Çember dişlinin hızı n_r değerini (büyüklük) bulun.

N_s = 15N_p = 12n_s = 600 rpm

n_r = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 200 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir alüminyum mil 1450 rpm’de 10 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 75 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,5° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 10 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 140 MPa ve σᵧ = 100 MPa’dır. En büyük asal gerilme 165 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 140 MPaσ_y = 100 MPaσ₁ = 165 MPa

τ_xy = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 70 MPa, σᵧ = −20 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). von Mises eşdeğer gerilmesi σ_vM değerini bulun.

σ_x = 70 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPa

σ_vM = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

alüminyum çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 85 kNd = 10 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 110 kNparça 1: Ø30 mm, 0,5 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 40 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 4 çevrim sonra 14,6 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 40 mmx₄ = 14,6 mmn = 4

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle k₃ = 20 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 25 kN/m ve k₂ = 80 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: F_t = 579,5 N

Dişli geometrisi: m modülü diş boyutunu belirler. N dişli bir dişlinin bölüm dairesi çapı d = m·N’dir, birbirine geçen iki dişlinin modülü aynıdır ve eksenler arası mesafeleri a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2’dir. Bölüm dairesi hızı v = π·d·n/60’tır ve teğetsel diş kuvveti torktan bulunur: F_t = 2T/d.

Pinyondaki tork

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 2200/151,8 = 14,49 N·m

Bölüm dairesi çapı

d = m·N = 2,5·20 = 50 mm

Teğetsel kuvvet

F_t = 2T/d = 2·14,49/0,05 = 579,5 N

Cevap

F_t = 579,5 N

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_r = 230,8 rpm

Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.

Çember dişli diş sayısı

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·12 = 39

Taşıyıcı sabitken Willis denklemi

n_c = 0 iken güneş dişlisi, ara dişli gibi davranan planetler aracılığıyla çemberi tahrik eder.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −600·15/39 = −230,8 rpm

|n_r| = 230,8 rpm

Cevap

n_r = 230,8 rpm

Çember güneşe ters yönde döner.

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,7183 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(26000·613592) = 0,01254 rad

φ = 0,01254·180/π = 0,7183°

Cevap

φ = 0,7183°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 41,47 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m

Dayanım için çap

T = 65,86 N·m = 65857 N·mm

d_τ = ∛(16·65857/(π·75)) = 16,48 mm

Rijitlik için çap

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·65857/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 41,47 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(16,48, 41,47) = 41,47 mm

Cevap

d = 41,47 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 40,31 MPa

Gerekli yarıçap

C = (140 + 100)/2 = 120 MPa

R = σ₁ − C = 165 − 120 = 45 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 20²) = 40,31 MPa

Cevap

τ_xy = 40,31 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_vM = 107,2 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 25 MPa, R = 60,21 MPa

σ₁ = 85,21 MPa, σ₂ = −35,21 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(85,21² − 85,21·(−35,21) + (−35,21)²) = 107,2 MPa

Cevap

σ_vM = 107,2 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 15461 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 85·1000/78,54 = 1082 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1082/70000 = 0,01546 = 15461 µε

Cevap

ε = 15461 µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 350,1 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 155,6 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 350,1 MPa

Cevap

σ_max = 350,1 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 6,169 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/5000² = 6169 N = 6,169 kN

Cevap

P_cr = 6,169 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 38,86 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Cevap

σ_cr = 38,86 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,04007

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/4)·ln(40/14,6) = 0,252

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,252/√(39,48 + 0,06349) = 0,04007

Cevap

ζ = 0,04007

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 9,225 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 25 + 80 = 105 kN/m

k_eq = 105·20/(105 + 20) = 16,8 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(16800/5) = 57,97 rad/s

f_n = 57,97/(2π) = 9,225 Hz

Cevap

f_n = 9,225 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design