Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1450 rpm ile çalışan 3 kW’lık bir motor 24 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 72 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %96. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 3 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 24N₂ = 72η = 96%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 1500 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (15 diş) B dişlisini (32 diş) döndürüyor. C dişlisi (12 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (36 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 1500 rpmA = 15B = 32C = 12D = 36

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 1000 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

30 mm çaplı dolu bir pirinç mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 2 m ve B’den 2,5 m uzaklıktaki C’de 250 N·m tork uygulanıyor. A duvarındaki tepki torku T_A değerini bulun.

d = 30 mmT₀ = 250 N·ma = 2 mb = 2,5 m

T_A = N·m

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 30 MPa, σᵧ = 20 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 30 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −60 MPa, σᵧ = −10 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 20° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = −60 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 50 mm, E = 100 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 600 mm’dir ve rijit levhalar arasında 200 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 200 kNçubuk: Ø40 mm, E = 200 GPaboru: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) ile bronz malzemeden yapılmış bir kesim (çap 60 mm, uzunluk 200 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 60 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

100 kg’lık bir kütle, rijitliği 12 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 660 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 100 kgk = 12 kN/mc = 660 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

40 kg’lık bir kütle k₃ = 40 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 15 kN/m ve k₂ = 30 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 40 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 19,76 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/151,8 = 19,76 N·m

Cevap

T₁ = 19,76 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 234,4 rpm

Birinci kademe

n_B = 1500·15/32 = 703,1 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 703,1·12/36 = 234,4 rpm

Cevap

n_out = 234,4 rpm

toplam oran = 6,4 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 22,8 °

Polar atalet momenti

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(80000·15708) = 0,3979 rad

φ = 0,3979·180/π = 22,8°

Cevap

φ = 22,8°

4.Millerin burulması

Cevap: T_A = 138,9 N·m

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca T_A + T_B = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·2,5/4,5 = 138,9 N·m

T_B = 250·2/4,5 = 111,1 N·m

Cevap

T_A = 138,9 N·m

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 30,41 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((30 − 20)/2)² + 30²) = 30,41 MPa

Cevap

τ_max = 30,41 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = −22,01 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = −35 + −25·0,766 + 50·0,6428 = −22,01 MPa

Cevap

σ_θ = −22,01 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,1012 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1,186 × 10⁹ N

Kısalma

δ = 200000·600/1,186 × 10⁹ = 0,1012 mm

Cevap

δ = 0,1012 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 17,29 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 110000·2827/200 = 1,555 × 10⁶ N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 60000·1,555 × 10⁶/1,909 × 10⁶ = 48889 N

Gerilme

σ₂ = 48889/2827 = 17,29 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 17,29 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 347,3 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347,3 kN

Cevap

P_cr = 347,3 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 9,715 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266,7² = 9,715 MPa

Cevap

σ_cr = 9,715 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,3012

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·100) = 2191 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 660/2191 = 0,3012

Cevap

ζ = 0,3012

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 3,662 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 15 + 30 = 45 kN/m

k_eq = 45·40/(45 + 40) = 21,18 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(21176/40) = 23,01 rad/s

f_n = 23,01/(2π) = 3,662 Hz

Cevap

f_n = 3,662 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design