Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

3 ağızlı bir sonsuz vida 1440 rpm ile dönüyor ve 40 dişli bir sonsuz vida çarkını tahrik ediyor. Çarkın hızı n_w değerini bulun.

z = 3N_w = 40n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, 1440 rpm ile dönen 125 mm’lik bir tahrik kasnağını 400 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 1200 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,3 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 1500 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).

d₁ = 125 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 400 mmC = 1200 mmμ = 0,3T₁ = 1500 N

P = kW

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 12 mm çaplı dolu bir numune 20 N·m torkla burulmuştur. 300 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 6,49° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 20 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 6,49°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

25 mm çaplı dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. A’dan 1 m uzaklıktaki B’de 200 N·m tork, ondan 0,8 m daha ötedeki serbest uç C’de ise ters yönde 100 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısının büyüklüğü φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 25 mmT_B = 200 N·mT_C = 100 N·mAB = 1 mBC = 0,8 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 100 MPa ve σᵧ = 20 MPa’dır. En büyük asal gerilme 115 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 100 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 40 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 420 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 100 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 60 mm, E = 110 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 300 mm’dir ve rijit levhalar arasında 300 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 300 kNçubuk: Ø20 mm, E = 200 GPaboru: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 120 MPa), alüminyum malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 60 mm, E = 70 GPa, izin verilen gerilme 70 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaboru: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 15 kN/m olan bir yay üzerindeki 12 kg’lık bir kütlenin, 0,5 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 12 kgk = 15 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle k₃ = 5 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 80 kN/m ve k₂ = 25 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_w = 108 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Çark hızı

n_w = n·z/N_w = 1440·3/40 = 108 rpm

Cevap

n_w = 108 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 8,236 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Sarılma açısı

θ = 2,912 rad

Gevşek taraftaki çekme kuvveti

e^μθ = e^0,8736 = 2,395, T₂ = 1500/2,395 = 626,2 N

Güç

P = (1500 − 626,2)·9,425 = 8,236 kW

Cevap

P = 8,236 kW

3.Millerin burulması

Cevap: G = 26,02 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 6,49·π/180 = 0,1133 rad

Kayma modülü

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·300/(2036·0,1133) = 26020 MPa

G = 26,02 GPa

Cevap

G = 26,02 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 0,7662 °

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 200 = −100 N·m

Her parçanın burulması

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −100000·1000/(39000·38350) = −0,06686 rad

φ_BC = 100000·800/(39000·38350) = 0,05349 rad

C ucunun burulması

φ_C = −0,06686 + 0,05349 = −0,01337 rad → |φ_C| = 0,7662°

Cevap

φ_C = 0,7662°

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 37,75 MPa

Gerekli yarıçap

C = (100 + 20)/2 = 60 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 60 = 55 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 40²) = 37,75 MPa

Cevap

τ_xy = 37,75 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 3,772

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 70 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 120 MPa, σ₂ = 20 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(120² − 120·20 + 20²) = 111,4 MPa

n = 420/111,4 = 3,772

Cevap

n = 3,772

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,2953 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·2199 = 3,047 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 300000·300/3,047 × 10⁸ = 0,2953 mm

Cevap

δ = 0,2953 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 243,2 kN

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,0006, 0,001) = 0,0006 (çelik)

En büyük yük

P_max = 0,0006·4,053 × 10⁸ = 243159 N = 243,2 kN

Cevap

P_max = 243,2 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 91,79 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/2800² = 91793 N = 91,79 kN

Cevap

P_cr = 91,79 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 1,079 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/15 = 800

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1,079 MPa

Cevap

σ_cr = 1,079 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 4,873 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(15000/12) = 35,36 rad/s

f_n = 35,36/(2π) = 5,627 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,627·√(1 − 0,5²) = 4,873 Hz

Cevap

f_d = 4,873 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 4,917 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 80 + 25 = 105 kN/m

k_eq = 105·5/(105 + 5) = 4,773 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(4773/5) = 30,9 rad/s

f_n = 30,9/(2π) = 4,917 Hz

Cevap

f_n = 4,917 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design