Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
Bir kayış, 960 rpm ile dönen 100 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 600 N, gevşek tarafta 150 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.
d1 = 100 mmn1 = 960 rpmT1 = 600 NT2 = 150 N
P = kW
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Açık bir kayış, merkezleri 600 mm arayla duran 125 mm’lik ve 400 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.
d1 = 125 mmd2 = 400 mmC = 600 mm
θ = °
3.Millerin burulmasıOrta
İçi boş bir çelik mil (dış çap 60 mm, iç çap 45 mm, uzunluk 1 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 750 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 750 N·mdo = 60 mmdi = 45 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
60 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 1,2 m ve B’den 3 m uzaklıktaki C’de 250 N·m tork uygulanıyor. A duvarındaki tepki torku TA değerini bulun.
d = 60 mmT0 = 250 N·ma = 1,2 mb = 3 m
TA = N·m
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −60 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θp değerini −90° ile 90° arasında bulun.
σx = −60 MPaσy = 10 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
40 mm çaplı dolu bir mil, 500 N·m tork ile birlikte 1500 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
d = 40 mmM = 1500 N·mT = 500 N·m
τmax = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.
P = 30 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
çelik bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) ile pirinç malzemeden yapılmış bir kesim (çap 60 mm, uzunluk 400 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 50 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ2 bulun.
kesim 1: çelik, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 150 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 150 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
8 kg’lık bir kütle, rijitliği 4 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 210 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 8 kgk = 4 kN/mc = 210 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
50 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 25 kN/m, alttakinin k₂ = 100 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 50 kgk1 = 25 kN/mk2 = 100 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: P = 2,262 kW
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Kayış hızı
v = 5,027 m/s
Güç
P = (600 − 150)·5,027 = 2262 W = 2,262 kW
Cevap
P = 2,262 kW
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: θ = 153,5 °
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Kayış açısı
asin(0,2292) = 13,25°
Sarılma açısı
θ = 180 − 2·13,25 = 153,5°
Cevap
θ = 153,5°
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 0,6176 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴
Burulma açısı
T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 750000·1000/(80000·869767) = 0,01078 rad
φ = 0,01078·180/π = 0,6176°
Cevap
φ = 0,6176°
4.Millerin burulması
Cevap: TA = 178,6 N·m
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).
Denge ve uygunluk
TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·3/4,2 = 178,6 N·m
TB = 250·1,2/4,2 = 71,43 N·m
Cevap
TA = 178,6 N·m
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: θp = −65,59 °
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dairedeki açı
Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.
2θp = atan2(2·−40, −60 − 10) = −131,2°
Elemandaki açı
θp = −65,59°
Cevap
θp = −65,59°
Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 125,8 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Yüzeydeki gerilmeler
σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·40³) = 238,7 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·40³) = 39,79 MPa
Mohr dairesi
C = σ/2 = 119,4 MPa
R = √(119,4² + 39,79²) = 125,8 MPa
Cevap
τmax = 125,8 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 0,7835 mm
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 30·1000/490,9 = 61,12 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 61,12/117000 = 0,0005224 = 522,4 µε
Uzama
δ = ε·L = 0,0005224·1500 mm = 0,7835 mm
Cevap
δ = 0,7835 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σ2 = 11,79 MPa
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Rijitlikler
k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 100000·2827/400 = 706858 N/mm
2. kesimin payı
F2 = 50000·706858/1,06 × 10⁶ = 33333 N
Gerilme
σ2 = 33333/2827 = 11,79 MPa (basınç)
Cevap
σ2 = 11,79 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 3,139 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 2·2500 = 5000 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN
Cevap
Pcr = 3,139 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 88,71 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2,5·150000 = 375000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 88,71 mm
Cevap
d = 88,71 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 180,4, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,587
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(4000·8) = 357,8 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 210/357,8 = 0,587
Cevap
ζ = 0,587
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 3,183 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/25 + 1/100 → keq = 25·100/(25 + 100) = 20 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(20000/50) = 20 rad/s
fn = 20/(2π) = 3,183 Hz
Cevap
fn = 3,183 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design