Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm’deki 3 kW’lık bir motor 4 ağızlı bir sonsuz vidayı tahrik ediyor. Sonsuz vida çarkının 80 dişi var ve aktarmanın verimi %65’tür. Çark milindeki çıkış torku T_w değerini bulun.

z = 4N_w = 80n = 1440 rpmP = 3 kWη = 65%

T_w = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, merkezleri 800 mm arayla duran 125 mm’lik ve 300 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.

d₁ = 125 mmd₂ = 300 mmC = 800 mm

θ = °

3.Millerin burulmasıOrta

Kademeli dolu bir çelik mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 75 mm ve uzunluğu 1,2 m; BC parçasının çapı 25 mm ve uzunluğu 2 m’dir. Serbest uç C’de 250 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

T = 250 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 25 mm, L₂ = 2 m

τ_max = MPa

4.Millerin burulmasıZor

50 mm çaplı dolu bir alüminyum mil A’da ankastredir. A’dan 0,5 m uzaklıktaki B’de 100 N·m tork, ondan 0,8 m daha ötedeki serbest uç C’de ise aynı yönde 2000 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısının büyüklüğü φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 50 mmT_B = 100 N·mT_C = 2000 N·mAB = 0,5 mBC = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa, σ_z = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τ_abs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σ_x = 140 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 800 mm ve et kalınlığı 12 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 1,5 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 30° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σ_n değerini bulun.

D = 800 mmt = 12 mmp = 1,5 MPaα = 30°

σ_n = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 20 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 50 mm, uzunluk 200 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,25 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 25 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) ile bronz malzemeden yapılmış bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 300 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 40 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 120 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 120 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 25 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 4 çevrim sonra 2 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 25 mmx₄ = 2 mmn = 4

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

40 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 100 kN/m ve k₂ = 25 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_w = 258,6 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Çark hızı

n_w = n·z/N_w = 1440·4/80 = 72 rpm

Çıkış torku

ω_w = 2π·72/60 = 7,54 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,65·3000/7,54 = 258,6 N·m

Cevap

T_w = 258,6 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: θ = 167,4 °

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış açısı

asin(0,1094) = 6,279°

Sarılma açısı

θ = 180 − 2·6,279 = 167,4°

Cevap

θ = 167,4°

3.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 81,49 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Her parçadaki gerilme

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·75³) = 3,018 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa

Cevap

τ_max = 81,49 MPa

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 9,517 °

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 2000 + 100 = 2100 N·m

Her parçanın burulması

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 2,1 × 10⁶·500/(26000·613592) = 0,06582 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·800/(26000·613592) = 0,1003 rad

C ucunun burulması

φ_C = 0,06582 + 0,1003 = 0,1661 rad → |φ_C| = 9,517°

Cevap

φ_C = 9,517°

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_abs = 90,5 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σ_max − σ_min)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

Düzlem içi asal gerilmeler

C = 130 MPa, R = √(10² + (−50)²) = 50,99 MPa

σ₁ = 181 MPa, σ₂ = 79,01 MPa, σ_z = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(102, 181, 79,01)/2 = 90,5 MPa

Cevap

τ_abs = 90,5 MPa

Burada düzlem dışı daire belirleyicidir: mutlak en büyük değer, düzlem içi en büyük değer R’den büyüktür.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_n = 43,75 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. İnce cidarlı silindir: çevresel gerilme σ_h = pr/t ve eksenel gerilme σ_a = pr/(2t); bunlar cidardaki asal gerilmelerdir.

Cidar gerilmeleri

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1,5·400/12 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

σ_n = 25·sin²30° + 50·cos²30° = 43,75 MPa

Cevap

σ_n = 43,75 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 40,13 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1963) = 1,455 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,25/6,23 × 10⁻⁶ = 40130 N = 40,13 kN

Cevap

P = 40,13 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 29,06 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 110000·706,9/300 = 259181 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 40000·259181/504618 = 20545 N

Gerilme

σ₂ = 20545/706,9 = 29,06 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 29,06 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 31,64 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2800² = 31639 N = 31,64 kN

Cevap

P_cr = 31,64 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 57,49 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·120000 = 240000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 57,49 mm

Cevap

d = 57,49 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 146,1, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,09999

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/4)·ln(25/2) = 0,6314

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6314/√(39,48 + 0,3987) = 0,09999

Cevap

ζ = 0,09999

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 8,897 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 25 = 125 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(125000/40) = 55,9 rad/s

f_n = 55,9/(2π) = 8,897 Hz

Cevap

f_n = 8,897 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design