Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile dönen 80 mm’lik bir kasnak, %1 kaymayla bir kayış aracılığıyla 500 mm’lik bir kasnağı tahrik ediyor. Tahrik edilen kasnağın hızını n₂ bulun.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 500 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 1500 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (50 diş) B dişlisini (72 diş) döndürüyor. C dişlisi (36 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (60 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 1500 rpmA = 50B = 72C = 36D = 60

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir alüminyum mil (dış çap 30 mm, iç çap 21 mm, uzunluk 1,2 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 100 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 100 N·md_o = 30 mmd_i = 21 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

25 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 1 m ve B’den 0,5 m uzaklıktaki C’de 1000 N·m tork uygulanıyor. A duvarındaki tepki torku T_A değerini bulun.

d = 25 mmT₀ = 1000 N·ma = 1 mb = 0,5 m

T_A = N·m

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 100 MPa, σᵧ = 90 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 100 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 600 mm ve et kalınlığı 6 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 1,5 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 20° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişi boyunca etkiyen kayma gerilmesinin büyüklüğü |τ_n| değerini bulun.

D = 600 mmt = 6 mmp = 1,5 MPaα = 20°

|τ_n| = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 40 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) bronz malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 50 mm, uzunluk 200 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,3 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 105 kNparça 1: Ø35 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1,5 m, çelik (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 25 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 5 çevrim sonra 5,2 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 25 mmx₅ = 5,2 mmn = 5

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

50 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 10 kN/m ve k₂ = 60 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n₂ = 228,1 rpm

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kaymasız hız

1440·80/500 = 230,4 rpm

Kaymayla

n₂ = 230,4·0,99 = 228,1 rpm

Cevap

n₂ = 228,1 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 625 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Birinci kademe

n_B = 1500·50/72 = 1042 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 1042·36/60 = 625 rpm

Cevap

n_out = 625 rpm

toplam oran = 2,4 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 4,376 °

Polar atalet momenti

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

Burulma açısı

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 100000·1200/(26000·60428) = 0,07638 rad

φ = 0,07638·180/π = 4,376°

Cevap

φ = 4,376°

4.Millerin burulması

Cevap: T_A = 333,3 N·m

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca T_A + T_B = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·0,5/1,5 = 333,3 N·m

T_B = 1000·1/1,5 = 666,7 N·m

Cevap

T_A = 333,3 N·m

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −4,731 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = 30/30,41 = 0,9864, sin 2θ_s = −5/30,41 = −0,1644

2θ_s = atan2(−5, 30) = −9,462°

Elemandaki açı

θ_s = −4,731°

kontrol: θ_s − θ_p = −4,731 − 40,27 = −45°

Cevap

θ_s = −4,731°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: |τ_n| = 12,05 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 1,5·300/6 = 75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 37,5 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

|τ_n| = (75 − 37,5)·sin 20°·cos 20° = 12,05 MPa

Cevap

|τ_n| = 12,05 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 102,9 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1963) = 9,26 × 10⁻⁷ mm/N

Yük

P = 0,3/2,915 × 10⁻⁶ = 102901 N = 102,9 kN

Cevap

P = 102,9 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 522,2 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 109,1 MPa

σ₂ = 522,2 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 522,2 MPa

Cevap

σ_max = 522,2 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 110,2 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/6000² = 110245 N = 110,2 kN

Cevap

P_cr = 110,2 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 49,35 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Cevap

σ_cr = 49,35 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,04992

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/5)·ln(25/5,2) = 0,314

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,314/√(39,48 + 0,09862) = 0,04992

Cevap

ζ = 0,04992

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 70 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 60 = 70 kN/m

Cevap

k_eq = 70 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design