Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

2900 rpm’deki 1,1 kW’lık bir motor 2 ağızlı bir sonsuz vidayı tahrik ediyor. Sonsuz vida çarkının 72 dişi var ve aktarmanın verimi %60’tür. Çark milindeki çıkış torku T_w değerini bulun.

z = 2N_w = 72n = 2900 rpmP = 1,1 kWη = 60%

T_w = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, merkezleri 600 mm arayla duran 100 mm’lik ve 200 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.

d₁ = 100 mmd₂ = 200 mmC = 600 mm

θ = °

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 200 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

40 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 3 m ve B’den 1,2 m uzaklıktaki C’de 400 N·m tork uygulanıyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 40 mmT₀ = 400 N·ma = 3 mb = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 80 MPa ve σᵧ = −30 MPa’dır. En büyük asal gerilme 120 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 80 MPaσ_y = −30 MPaσ₁ = 120 MPa

τ_xy = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). von Mises eşdeğer gerilmesi σ_vM değerini bulun.

σ_x = −50 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 110 kNd = 30 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 25 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 150 MPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 60 mm, E = 100 GPa, izin verilen gerilme 50 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaboru: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 130 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 130 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 20 kN/m olan bir yay üzerindeki 10 kg’lık bir kütlenin, 0,5 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 10 kgk = 20 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

40 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 30 kN/m, alttakinin k₂ = 10 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 40 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_w = 78,24 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Çark hızı

n_w = n·z/N_w = 2900·2/72 = 80,56 rpm

Çıkış torku

ω_w = 2π·80,56/60 = 8,436 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,6·1100/8,436 = 78,24 N·m

Cevap

T_w = 78,24 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: θ = 170,4 °

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış açısı

asin(0,08333) = 4,78°

Sarılma açısı

θ = 180 − 2·4,78 = 170,4°

Cevap

θ = 170,4°

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 13,79 °

Polar atalet momenti

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(26000·38350) = 0,2407 rad

φ = 0,2407·180/π = 13,79°

Cevap

φ = 13,79°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 22,74 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca T_A + T_B = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·1,2/4,2 = 114,3 N·m

T_B = 400·3/4,2 = 285,7 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İki torktan büyük olanı belirleyicidir (aynı çap).

τ_max = 16·285714/(π·40³) = 22,74 MPa

Cevap

τ_max = 22,74 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 77,46 MPa

Gerekli yarıçap

C = (80 + (−30))/2 = 25 MPa

R = σ₁ − C = 120 − 25 = 95 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 55²) = 77,46 MPa

Cevap

τ_xy = 77,46 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_vM = 124,9 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 15 MPa, R = 71,59 MPa

σ₁ = 86,59 MPa, σ₂ = −56,59 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(86,59² − 86,59·(−56,59) + (−56,59)²) = 124,9 MPa

Cevap

σ_vM = 124,9 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 778,1 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 110·1000/706,9 = 155,6 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 155,6/200000 = 0,0007781 = 778,1 µε

Cevap

ε = 778,1 µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 300,4 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·5027 = 6,008 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,00075, 0,0005) = 0,0005 (pirinç)

En büyük yük

P_max = 0,0005·6,008 × 10⁸ = 300415 N = 300,4 kN

Cevap

P_max = 300,4 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 12,56 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2500² = 12558 N = 12,56 kN

Cevap

P_cr = 12,56 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 70,1 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·130000 = 260000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 70,1 mm

Cevap

d = 70,1 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 171,2, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 6,164 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(20000/10) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,5²) = 6,164 Hz

Cevap

f_d = 6,164 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 7,5 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/10 → k_eq = 30·10/(30 + 10) = 7,5 kN/m

Cevap

k_eq = 7,5 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design