Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

İki paralel mil arasında 54 mm mesafe var. Bunlar 1,5 mm modüllü ve 3,5 : 1 hız düşürme oranlı bir çift düz dişliyle bağlanmalıdır. Pinyonun kaç dişi N₁ olmalıdır?

a = 54 mmm = 1,5 mmi = 3,5

N₁ =

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, 1440 rpm ile dönen 120 mm’lik bir tahrik kasnağını 315 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 600 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,3 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 500 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).

d₁ = 120 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 315 mmC = 600 mmμ = 0,3T₁ = 500 N

P = kW

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir mil 100 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,5 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 40 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

T = 100 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Millerin burulmasıZor

50 mm çaplı dolu bir çelik mil A’da ankastredir. A’dan 3 m uzaklıktaki B’de 400 N·m tork, ondan 3 m daha ötedeki serbest uç C’de ise aynı yönde 200 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısının büyüklüğü φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 50 mmT_B = 400 N·mT_C = 200 N·mAB = 3 mBC = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 120 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 120 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 1200 mm ve et kalınlığı 15 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 1,5 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 55° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σ_n değerini bulun.

D = 1200 mmt = 15 mmp = 1,5 MPaα = 55°

σ_n = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 90 kNd = 30 mmL = 3 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) ile bronz malzemeden yapılmış bir kesim (çap 60 mm, uzunluk 200 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 30 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 25 mm’lik bir yer değiştirme tepesini bir çevrim sonra 15,1 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 25 mmx₁ = 15,1 mmn = 1

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

25 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 80 kN/m ve k₂ = 50 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 25 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N₁ = 16

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Toplam diş sayısı

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·54/1,5 = 72

Orana göre bölün

N₁ = 72/(1 + 3,5) = 16

Cevap

N₁ = 16

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 2,58 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Sarılma açısı

θ = 2,815 rad

Gevşek taraftaki çekme kuvveti

e^μθ = e^0,8445 = 2,327, T₂ = 500/2,327 = 214,9 N

Güç

P = (500 − 214,9)·9,048 = 2,58 kW

Cevap

P = 2,58 kW

3.Millerin burulması

Cevap: d_o = 23,86 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·40·0,9375)) = 23,86 mm

d_i = 0,5·23,86 = 11,93 mm

Cevap

d_o = 23,86 mm

Dolu bir mil d = 23,35 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 2,801 °

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 400 = 600 N·m

Her parçanın burulması

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 600000·3000/(80000·613592) = 0,03667 rad

φ_BC = 200000·3000/(80000·613592) = 0,01222 rad

C ucunun burulması

φ_C = 0,03667 + 0,01222 = 0,04889 rad → |φ_C| = 2,801°

Cevap

φ_C = 2,801°

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = −34,1 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·−50, 120 − 80) = −68,2°

Elemandaki açı

θ_p = −34,1°

Cevap

θ_p = −34,1°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_n = 39,87 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 1,5·600/15 = 60 MPa

σ_a = pr/(2t) = 30 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

σ_n = 30·sin²55° + 60·cos²55° = 39,87 MPa

Cevap

σ_n = 39,87 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 3,265 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 90·1000/706,9 = 127,3 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/117000 = 0,001088 = 1088 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,001088·3000 mm = 3,265 mm

Cevap

δ = 3,265 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 9,214 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 110000·2827/200 = 1,555 × 10⁶ N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 30000·1,555 × 10⁶/1,791 × 10⁶ = 26053 N

Gerilme

σ₂ = 26053/2827 = 9,214 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 9,214 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 2,481 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2,481 kN

Cevap

P_cr = 2,481 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 4,318 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Cevap

σ_cr = 4,318 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,07999

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/1)·ln(25/15,1) = 0,5042

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5042/√(39,48 + 0,2542) = 0,07999

Cevap

ζ = 0,07999

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 11,48 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 50 = 130 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(130000/25) = 72,11 rad/s

f_n = 72,11/(2π) = 11,48 Hz

Cevap

f_n = 11,48 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design