Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

2880 rpm ile dönen 125 mm’lik bir kasnak, %4 kaymayla bir kayış aracılığıyla 300 mm’lik bir kasnağı tahrik ediyor. Tahrik edilen kasnağın hızını n₂ bulun.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 300 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 1450 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (12 diş) B dişlisini (45 diş) döndürüyor. C dişlisi (30 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (80 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 1450 rpmA = 12B = 45C = 30D = 80

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1000 rpm’de 100 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,8 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 75 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 0 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 0 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 30 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 20° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 30 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 30 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 50 mm, uzunluk 400 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,3 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 200 MPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 60 mm, E = 120 GPa, izin verilen gerilme 60 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaboru: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

40 kg’lık bir kütle, rijitliği 150 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 490 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 40 kgk = 150 kN/mc = 490 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 20 kN/m ve k₂ = 5 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n₂ = 1152 rpm

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kaymasız hız

2880·125/300 = 1200 rpm

Kaymayla

n₂ = 1200·0,96 = 1152 rpm

Cevap

n₂ = 1152 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 145 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Birinci kademe

n_B = 1450·12/45 = 386,7 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 386,7·30/80 = 145 rpm

Cevap

n_out = 145 rpm

toplam oran = 10 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 24,94 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(26000·79522) = 0,4353 rad

φ = 0,4353·180/π = 24,94°

Cevap

φ = 24,94°

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 47,89 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·75·0,5904)) = 47,89 mm

d_i = 0,8·47,89 = 38,31 mm

Cevap

d_o = 47,89 mm

Dolu bir mil d = 40,18 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 25,67 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·50, 0 − −80) = 51,34°

Elemandaki açı

θ_p = 25,67°

Cevap

θ_p = 25,67°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = −12,59 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −40·−0,6428 + −50·0,766 = −12,59 MPa

Cevap

τ_θ = −12,59 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 46,53 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1963) = 2,91 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,3/6,447 × 10⁻⁶ = 46533 N = 46,53 kN

Cevap

P = 46,53 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 540,4 kN

Alanlar

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·8482 = 1,081 × 10⁹ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,001, 0,0005) = 0,0005 (bakır)

En büyük yük

P_max = 0,0005·1,081 × 10⁹ = 540354 N = 540,4 kN

Cevap

P_max = 540,4 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 17,13 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/3000² = 17135 N = 17,13 kN

Cevap

P_cr = 17,13 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 1,919 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1,919 MPa

Cevap

σ_cr = 1,919 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,1

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·40) = 4899 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 490/4899 = 0,1

Cevap

ζ = 0,1

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 5,627 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 5 = 25 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(25000/20) = 35,36 rad/s

f_n = 35,36/(2π) = 5,627 Hz

Cevap

f_n = 5,627 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design