Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

960 rpm ile çalışan 1,5 kW’lık bir motor, 25 dişli ve 2 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet F_t değerini bulun.

P = 1,5 kWn = 960 rpmN₁ = 25m = 2 mm

F_t = N

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 20 dişi ve her planet dişlisinin 24 dişi var. Çember dişli sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 1200 rpm ile döndürülüyor. Planet taşıyıcısının hızı n_c değerini bulun.

N_s = 20N_p = 24n_s = 1200 rpm

n_c = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 750 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 300 dev/dk’da 30 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 30 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 130 MPa, σᵧ = 40 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 130 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_s = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

30 mm çaplı dolu bir mil, 2000 N·m tork ile birlikte 60 kN eksenel basınç kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 30 mmF = −60 kNT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 15 kNd = 16 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 45 kNparça 1: Ø25 mm, 1 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

200 kg’lık bir kütle, rijitliği 80 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 400 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 200 kgk = 80 kN/mc = 400 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

50 kg’lık bir kütle k₃ = 30 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 15 kN/m ve k₂ = 40 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 50 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: F_t = 596,8 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Pinyondaki tork

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 1500/100,5 = 14,92 N·m

Bölüm dairesi çapı

d = m·N = 2·25 = 50 mm

Teğetsel kuvvet

F_t = 2T/d = 2·14,92/0,05 = 596,8 N

Cevap

F_t = 596,8 N

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_c = 272,7 rpm

Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.

Çember dişli diş sayısı

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·24 = 68

Çember sabitken Willis denklemi

n_r = 0 alın ve taşıyıcı hızını çözün.

(1200 − n_c)/(0 − n_c) = −68/20

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1200·20/88 = 272,7 rpm

Cevap

n_c = 272,7 rpm

Taşıyıcı güneşle aynı yönde döner.

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 4,489 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(39000·613592) = 0,07835 rad

φ = 0,07835·180/π = 4,489°

Cevap

φ = 4,489°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 24,02 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Polar atalet momenti

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·30/1,193 × 10⁶ = 24,02 MPa

Cevap

τ_max = 24,02 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −20,99 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = 50/67,27 = 0,7433, sin 2θ_s = −45/67,27 = −0,669

2θ_s = atan2(−45, 50) = −41,99°

Elemandaki açı

θ_s = −20,99°

kontrol: θ_s − θ_p = −20,99 − 24,01 = −45°

Cevap

θ_s = −20,99°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 337,2 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = −60000/(π·30²/4) = −60000/706,9 = −84,88 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·30³) = 377,3 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = −42,44 MPa

R = √((−42,44)² + 377,3²) = 379,6 MPa

σ₁ = C + R = 337,2 MPa

σ₂ = C − R = −422,1 MPa

Cevap

σ₁ = 337,2 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,132 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/201,1 = 74,6 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 74,6/70000 = 0,001066 = 1066 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,001066·2000 mm = 2,132 mm

Cevap

δ = 2,132 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,932 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 91,67 MPa

σ₂ = 143,2 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91,67·1000/117000 = 0,7835 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 143,2·1500/100000 = 2,149 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,932 mm

Cevap

δ = 2,932 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 4,449 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4200² = 4449 N = 4,449 kN

Cevap

P_cr = 4,449 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 137,1 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/6,25 = 120

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137,1 MPa

Cevap

σ_cr = 137,1 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,05

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·200) = 8000 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 400/8000 = 0,05

Cevap

ζ = 0,05

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 3,136 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 15 + 40 = 55 kN/m

k_eq = 55·30/(55 + 30) = 19,41 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(19412/50) = 19,7 rad/s

f_n = 19,7/(2π) = 3,136 Hz

Cevap

f_n = 3,136 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design