Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile çalışan 0,75 kW’lık bir motor 30 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 32 dişli bir dişliyi kavrıyor. Kayıpları ihmal edin. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 0,75 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 30N₂ = 32η = 100%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

1450 rpm’deki 1,5 kW’lık bir motor A dişlisini (20 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (45 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (25 diş), çıkış milindeki D dişlisini (40 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %96’dır. Çıkış torku T_out değerini bulun.

P = 1,5 kWn_in = 1450 rpmA = 20B = 45C = 25D = 40η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Millerin burulmasıOrta

Kademeli dolu bir çelik mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 60 mm ve uzunluğu 1,2 m; BC parçasının çapı 50 mm ve uzunluğu 2,5 m’dir. Serbest uç C’de 250 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısı φ_C değerini derece cinsinden bulun.

T = 250 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 50 mm, L₂ = 2,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir alüminyum mil 1500 rpm’de 20 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 40 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,25° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 50 MPa, σᵧ = 60 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 60° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 50 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

20 mm çaplı dolu bir mil, 500 N·m tork ile birlikte 90 kN eksenel çekme kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 20 mmF = 90 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 30 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) bronz malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 50 mm, uzunluk 400 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,2 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 25 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) ile bronz malzemeden yapılmış bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 200 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 30 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 130 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 130 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

8 kg’lık bir kütle, rijitliği 5 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 200 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 8 kgk = 5 kN/mc = 200 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

100 kg’lık bir kütle k₃ = 100 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 25 kN/m ve k₂ = 15 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 100 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 4,974 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/150,8 = 4,974 N·m

Cevap

T₁ = 4,974 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_out = 32,77 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Çıkış hızı

n_out = 1450·(20/45)·(25/40) = 402,8 rpm

ω_out = 2π·402,8/60 = 42,18 rad/s

Çıkış gücü ve tork

P_out = 1500·0,96² = 1382 W

T_out = P_out/ω_out = 1382/42,18 = 32,77 N·m

Cevap

T_out = 32,77 N·m

3.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 0,8984 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momentleri

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Her parçanın burulması

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 250000·1200/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,002947 rad

φ_BC = 250000·2500/(80000·613592) = 0,01273 rad

Toplam burulma

φ_C = 0,002947 + 0,01273 = 0,01568 rad = 0,8984°

Cevap

φ_C = 0,8984°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 58,15 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Dayanım için çap

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·40)) = 25,31 mm

Rijitlik için çap

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 58,15 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(25,31, 58,15) = 58,15 mm

Cevap

d = 58,15 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = 9,199 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 55 − (−5)·(−0,5) − 50·0,866 = 9,199 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = 100,8 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 110 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = 9,199 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 492,3 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = 90000/(π·20²/4) = 90000/314,2 = 286,5 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·20³) = 318,3 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 143,2 MPa

R = √(143,2² + 318,3²) = 349,1 MPa

σ₁ = C + R = 492,3 MPa

σ₂ = C − R = −205,8 MPa

Cevap

σ₁ = 492,3 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 37,11 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1963) = 1,852 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,2/5,389 × 10⁻⁶ = 37114 N = 37,11 kN

Cevap

P = 37,11 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 28,2 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 110000·706,9/200 = 388772 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 30000·388772/585122 = 19933 N

Gerilme

σ₂ = 19933/706,9 = 28,2 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 28,2 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 15,5 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4000² = 15503 N = 15,5 kN

Cevap

P_cr = 15,5 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 83,2 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·130000 = 260000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 83,2 mm

Cevap

d = 83,2 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 120,2, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,5

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(5000·8) = 400 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 200/400 = 0,5

Cevap

ζ = 0,5

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 2,69 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 25 + 15 = 40 kN/m

k_eq = 40·100/(40 + 100) = 28,57 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(28571/100) = 16,9 rad/s

f_n = 16,9/(2π) = 2,69 Hz

Cevap

f_n = 2,69 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design