Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile dönen 150 mm’lik bir kasnak, %2,5 kaymayla bir kayış aracılığıyla 500 mm’lik bir kasnağı tahrik ediyor. Tahrik edilen kasnağın hızını n₂ bulun.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 500 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 1500 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (20 diş) B dişlisini (50 diş) döndürüyor. C dişlisi (20 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (25 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 1500 rpmA = 20B = 50C = 20D = 25

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

1,2 m uzunluğundaki dolu bir pirinç mil 250 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 3°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 250 N·mL = 1,2 mG = 39 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 80 MPa değerini aşmadan 3000 dev/dk’da 30 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 30 kWN = 3000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 0 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 0 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 70 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). von Mises eşdeğer gerilmesi σ_vM değerini bulun.

σ_x = 90 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPa

σ_vM = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 10 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 50 kNparça 1: Ø40 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 5 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 5 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

15 kg’lık bir kütle, rijitliği 25 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 310 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 15 kgk = 25 kN/mc = 310 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 12 kN/m ve k₂ = 20 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n₂ = 421,2 rpm

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kaymasız hız

1440·150/500 = 432 rpm

Kaymayla

n₂ = 432·0,975 = 421,2 rpm

Cevap

n₂ = 421,2 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 480 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Birinci kademe

n_B = 1500·20/50 = 600 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 600·20/25 = 480 rpm

Cevap

n_out = 480 rpm

toplam oran = 3,125 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: d = 34,98 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·1200/(39000·0,05236) = 146912 mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 34,98 mm

Cevap

d = 34,98 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 18,25 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·80)) = 18,25 mm

Cevap

d = 18,25 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 47,38 °

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·60, 0 − 10) = 94,76°

Elemandaki açı

θ_p = 47,38°

Cevap

θ_p = 47,38°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_vM = 83,67 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 80 MPa, R = 14,14 MPa

σ₁ = 94,14 MPa, σ₂ = 65,86 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(94,14² − 94,14·65,86 + 65,86²) = 83,67 MPa

Cevap

σ_vM = 83,67 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,1011 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 10·1000/706,9 = 14,15 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 14,15/70000 = 0,0002021 = 202,1 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,0002021·500 mm = 0,1011 mm

Cevap

δ = 0,1011 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 7,768 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 39,79 MPa

σ₂ = 442,1 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 39,79·2000/70000 = 1,137 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 442,1·1500/100000 = 6,631 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,768 mm

Cevap

δ = 7,768 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 158,8 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/5000² = 158752 N = 158,8 kN

Cevap

P_cr = 158,8 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 40,65 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·5000 = 15000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 40,65 mm

Cevap

d = 40,65 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 413,3, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,2531

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·15) = 1225 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 310/1225 = 0,2531

Cevap

ζ = 0,2531

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 32 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 20 = 32 kN/m

Cevap

k_eq = 32 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design