Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

Bir kayış, 2880 rpm ile dönen 150 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 1500 N, gevşek tarafta 600 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.

d₁ = 150 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 600 N

P = kW

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, merkezleri 1200 mm arayla duran 200 mm’lik ve 400 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.

d₁ = 200 mmd₂ = 400 mmC = 1200 mm

θ = °

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 15 mm çaplı dolu bir numune 40 N·m torkla burulmuştur. 300 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 5,32° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 40 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 5,32°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

50 mm çaplı dolu bir alüminyum mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 0,8 m ve B’den 1 m uzaklıktaki C’de 500 N·m tork uygulanıyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 50 mmT₀ = 500 N·ma = 0,8 mb = 1 m

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 60 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 60 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 70 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 420 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 130 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 55 kNd = 16 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 10 kNparça 1: Ø25 mm, 2 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø12 mm, 2 m, bakır (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

15 kg’lık bir kütle, rijitliği 40 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 390 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 15 kgk = 40 kN/mc = 390 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

10 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 5 kN/m, alttakinin k₂ = 5 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 10 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 20,36 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış hızı

v = 22,62 m/s

Güç

P = (1500 − 600)·22,62 = 20358 W = 20,36 kW

Cevap

P = 20,36 kW

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: θ = 170,4 °

Kayış açısı

asin(0,08333) = 4,78°

Sarılma açısı

θ = 180 − 2·4,78 = 170,4°

Cevap

θ = 170,4°

3.Millerin burulması

Cevap: G = 26 GPa

Polar atalet momenti ve açı

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 5,32·π/180 = 0,09285 rad

Kayma modülü

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·300/(4970·0,09285) = 26003 MPa

G = 26 GPa

Cevap

G = 26 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 11,32 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca T_A + T_B = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·1/1,8 = 277,8 N·m

T_B = 500·0,8/1,8 = 222,2 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İki torktan büyük olanı belirleyicidir (aynı çap).

τ_max = 16·277778/(π·50³) = 11,32 MPa

Cevap

τ_max = 11,32 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 33,69 °

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·60, 60 − 10) = 67,38°

Elemandaki açı

θ_p = 33,69°

Cevap

θ_p = 33,69°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 3,684

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 100 MPa, R = 31,62 MPa

σ₁ = 131,6 MPa, σ₂ = 68,38 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(131,6² − 131,6·68,38 + 68,38²) = 114 MPa

n = 420/114 = 3,684

Cevap

n = 3,684

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 11,72 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 55·1000/201,1 = 273,5 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 273,5/70000 = 0,003908 = 3908 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,003908·3000 mm = 11,72 mm

Cevap

δ = 11,72 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,919 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 20,37 MPa

σ₂ = 88,42 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 20,37·2000/100000 = 0,4074 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 88,42·2000/117000 = 1,511 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,919 mm

Cevap

δ = 1,919 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 235 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/1750² = 234991 N = 235 kN

Cevap

P_cr = 235 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 8,567 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/6,25 = 480

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

Cevap

σ_cr = 8,567 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,2517

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·15) = 1549 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 390/1549 = 0,2517

Cevap

ζ = 0,2517

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 2,516 Hz

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/5 → k_eq = 5·5/(5 + 5) = 2,5 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(2500/10) = 15,81 rad/s

f_n = 15,81/(2π) = 2,516 Hz

Cevap

f_n = 2,516 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design