Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile çalışan 4 kW’lık bir motor 20 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 50 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %98. Dişli milindeki çıkış torku T₂ değerini bulun.

P = 4 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 20N₂ = 50η = 98%

T₂ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde giriş milindeki A dişlisi (12 diş) 3000 rpm ile dönüyor ve B dişlisini (15 diş) tahrik ediyor. C dişlisi (32 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini tahrik ediyor. Çıkış 1280 rpm ile dönmelidir. D dişlisinin kaç dişi N_D olmalıdır?

n_in = 3000 rpmA = 12B = 15C = 32n_out = 1280 rpm

N_D =

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 12 mm çaplı dolu bir numune 20 N·m torkla burulmuştur. 300 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 4,33° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 20 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 4,33°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 75 MPa değerini aşmadan 300 dev/dk’da 100 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 100 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 10 MPa, σᵧ = 0 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 10 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 150 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 60° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 150 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

alüminyum çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 75 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 95 kNparça 1: Ø40 mm, 2 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

12 kg’lık bir kütle, rijitliği 2 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 150 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 12 kgk = 2 kN/mc = 150 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

50 kg’lık bir kütle k₃ = 12 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 15 kN/m ve k₂ = 20 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 50 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₂ = 64,99 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/150,8 = 26,53 N·m

Çıkış torku

T₂ = 26,53·50/20·0,98 = 64,99 N·m

Cevap

T₂ = 64,99 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N_D = 60

Ara mil hızı

n_B = n_C = 3000·12/15 = 2400 rpm

D dişlisinin diş sayısı

N_D = C·n_C/n_out = 32·2400/1280 = 60

Cevap

N_D = 60

3.Millerin burulması

Cevap: G = 39 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 4,33·π/180 = 0,07557 rad

Kayma modülü

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·300/(2036·0,07557) = 39000 MPa

G = 39 GPa

Cevap

G = 39 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 60,01 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·3,183 × 10⁶/(π·75)) = 60,01 mm

Cevap

d = 60,01 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −4,731 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = 30/30,41 = 0,9864, sin 2θ_s = −5/30,41 = −0,1644

2θ_s = atan2(−5, 30) = −9,462°

Elemandaki açı

θ_s = −4,731°

kontrol: θ_s − θ_p = −4,731 − 40,27 = −45°

Cevap

θ_s = −4,731°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 33,48 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 55 + 95·−0,5 + 30·0,866 = 33,48 MPa

Cevap

σ_θ = 33,48 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 1516 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 75·1000/706,9 = 106,1 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 106,1/70000 = 0,001516 = 1516 µε

Cevap

ε = 1516 µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 8,599 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 75,6 MPa

σ₂ = 472,5 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 75,6·2000/100000 = 1,512 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 472,5·1500/100000 = 7,087 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,599 mm

Cevap

δ = 8,599 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 329 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/2500² = 328987 N = 329 kN

Cevap

P_cr = 329 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 6,747 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12,5 = 320

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

Cevap

σ_cr = 6,747 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,4841

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(2000·12) = 309,8 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 150/309,8 = 0,4841

Cevap

ζ = 0,4841

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 2,128 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 15 + 20 = 35 kN/m

k_eq = 35·12/(35 + 12) = 8,936 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(8936/50) = 13,37 rad/s

f_n = 13,37/(2π) = 2,128 Hz

Cevap

f_n = 2,128 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design