Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

Bir kayış, 720 rpm ile dönen 150 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 800 N, gevşek tarafta 200 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.

d₁ = 150 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 800 NT₂ = 200 N

P = kW

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 1440 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (16 diş) B dişlisini (60 diş) döndürüyor. C dişlisi (15 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (80 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 1440 rpmA = 16B = 60C = 15D = 80

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 200 N·md = 30 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 75 MPa değerini aşmadan 1800 dev/dk’da 5 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 5 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 0 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa, σ_z = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τ_abs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σ_x = 100 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

25 mm çaplı dolu bir mil, 400 N·m tork ile birlikte 80 kN eksenel çekme kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 25 mmF = 80 kNT = 400 N·m

τ_max = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 15 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 60 kNparça 1: Ø40 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø12 mm, 0,5 m, çelik (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 200 kN/m olan bir yay üzerindeki 250 kg’lık bir kütlenin, 0,6 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 250 kgk = 200 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 30 kN/m, alttakinin k₂ = 80 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 3,393 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış hızı

v = 5,655 m/s

Güç

P = (800 − 200)·5,655 = 3393 W = 3,393 kW

Cevap

P = 3,393 kW

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 72 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Birinci kademe

n_B = 1440·16/60 = 384 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 384·15/80 = 72 rpm

Cevap

n_out = 72 rpm

toplam oran = 20 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 16,63 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(26000·79522) = 0,2902 rad

φ = 0,2902·180/π = 16,63°

Cevap

φ = 16,63°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 12,17 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 5000/188,5 = 26,53 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·26526/(π·75)) = 12,17 mm

Cevap

d = 12,17 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_abs = 58,31 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σ_max − σ_min)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

Düzlem içi asal gerilmeler

C = 50 MPa, R = √(50² + 30²) = 58,31 MPa

σ₁ = 108,3 MPa, σ₂ = −8,31 MPa, σ_z = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(116,6, 108,3, 8,31)/2 = 58,31 MPa

Cevap

τ_abs = 58,31 MPa

Burada σ₁ ve σ₂ zıt işaretlidir, bu yüzden düzlem içi en büyük değer R aynı zamanda mutlak en büyük değerdir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 153,7 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = 80000/(π·25²/4) = 80000/490,9 = 163 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·25³) = 130,4 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 81,49 MPa

R = √(81,49² + 130,4²) = 153,7 MPa

Cevap

τ_max = 153,7 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 1326 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/113,1 = 132,6 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 132,6/100000 = 0,001326 = 1326 µε

Cevap

ε = 1326 µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 530,5 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 47,75 MPa

σ₂ = 530,5 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 530,5 MPa

Cevap

σ_max = 530,5 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 56,25 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2100² = 56247 N = 56,25 kN

Cevap

P_cr = 56,25 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 49,35 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/7,5 = 200

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Cevap

σ_cr = 49,35 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 3,601 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(200000/250) = 28,28 rad/s

f_n = 28,28/(2π) = 4,502 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,502·√(1 − 0,6²) = 3,601 Hz

Cevap

f_d = 3,601 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 21,82 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/80 → k_eq = 30·80/(30 + 80) = 21,82 kN/m

Cevap

k_eq = 21,82 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design