Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile dönen 125 mm’lik bir kasnak, %1,5 kaymayla bir kayış aracılığıyla 200 mm’lik bir kasnağı tahrik ediyor. Tahrik edilen kasnağın hızını n₂ bulun.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 200 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, merkezleri 1200 mm arayla duran 80 mm’lik ve 315 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.

d₁ = 80 mmd₂ = 315 mmC = 1200 mm

θ = °

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 750 dev/dk’da 75 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 75 kWN = 750 rpmd_o = 100 mmd_i = 50 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = −50 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 30° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = −50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = −80 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 275 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = −80 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

bakır çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 75 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 70 kNparça 1: Ø25 mm, 1,5 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

50 kg’lık bir kütle, rijitliği 15 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 170 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 50 kgk = 15 kN/mc = 170 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle k₃ = 10 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 12 kN/m ve k₂ = 100 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n₂ = 886,5 rpm

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kaymasız hız

1440·125/200 = 900 rpm

Kaymayla

n₂ = 900·0,985 = 886,5 rpm

Cevap

n₂ = 886,5 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: θ = 168,8 °

Kayış açısı

asin(0,09792) = 5,619°

Sarılma açısı

θ = 180 − 2·5,619 = 168,8°

Cevap

θ = 168,8°

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 3,288 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·251327) = 0,05739 rad

φ = 0,05739·180/π = 3,288°

Cevap

φ = 3,288°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 5,188 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Polar atalet momenti

J = π(100⁴ − 50⁴)/32 = 9,204 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·50/9,204 × 10⁶ = 5,188 MPa

Cevap

τ_max = 5,188 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = −74,82 MPa

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = −55 − 5·0,5 − 20·0,866 = −74,82 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = −35,18 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −110 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = −74,82 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 3,814

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = −55 MPa, R = 26,93 MPa

σ₁ = −28,07 MPa, σ₂ = −81,93 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √((−28,07)² − (−28,07)·(−81,93) + (−81,93)²) = 72,11 MPa

n = 275/72,11 = 3,814

Cevap

n = 3,814

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 8162 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 75·1000/78,54 = 954,9 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 954,9/117000 = 0,008162 = 8162 µε

Cevap

ε = 8162 µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,184 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 142,6 MPa

σ₂ = 222,8 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 142,6·1500/200000 = 1,07 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 222,8·1000/200000 = 1,114 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,184 mm

Cevap

δ = 2,184 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 34,88 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34,88 kN

Cevap

P_cr = 34,88 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 49,35 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Cevap

σ_cr = 49,35 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,09815

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·50) = 1732 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 170/1732 = 0,09815

Cevap

ζ = 0,09815

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 3,41 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 12 + 100 = 112 kN/m

k_eq = 112·10/(112 + 10) = 9,18 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(9180/20) = 21,42 rad/s

f_n = 21,42/(2π) = 3,41 Hz

Cevap

f_n = 3,41 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design