Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

Bir kayış, 1450 rpm ile dönen 80 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 400 N, gevşek tarafta 160 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.

d₁ = 80 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 400 NT₂ = 160 N

P = kW

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 1440 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (15 diş) B dişlisini (24 diş) döndürüyor. C dişlisi (32 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (48 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 1440 rpmA = 15B = 24C = 32D = 48

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 10 mm çaplı dolu bir numune 20 N·m torkla burulmuştur. 200 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 5,99° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 20 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 5,99°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1500 rpm’de 75 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,8 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 60 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 75 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = −30 MPa, σᵧ = 30 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 25° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = −30 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 80 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 420 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 80 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 30 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) bakır malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 30 mm, uzunluk 200 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,2 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) ile bronz malzemeden yapılmış bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 500 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 30 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 200 GPa (çelik)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 35 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 35 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 20 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 3 çevrim sonra 4,4 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 20 mmx₃ = 4,4 mmn = 3

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

25 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 10 kN/m, alttakinin k₂ = 50 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 1,458 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış hızı

v = 6,074 m/s

Güç

P = (400 − 160)·6,074 = 1458 W = 1,458 kW

Cevap

P = 1,458 kW

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 600 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Birinci kademe

n_B = 1440·15/24 = 900 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 900·32/48 = 600 rpm

Cevap

n_out = 600 rpm

toplam oran = 2,4 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: G = 38,97 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 5,99·π/180 = 0,1045 rad

Kayma modülü

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·200/(981,7·0,1045) = 38972 MPa

G = 38,97 GPa

Cevap

G = 38,97 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 40,95 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·60·0,5904)) = 40,95 mm

d_i = 0,8·40,95 = 32,76 mm

Cevap

d_o = 40,95 mm

Dolu bir mil d = 34,35 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = −26,68 MPa

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 0 − (−30)·0,6428 − 60·0,766 = −26,68 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = 26,68 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 0 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = −26,68 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 3,202

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 25 MPa, R = 74,33 MPa

σ₁ = 99,33 MPa, σ₂ = −49,33 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(99,33² − 99,33·(−49,33) + (−49,33)²) = 131,1 MPa

n = 420/131,1 = 3,202

Cevap

n = 3,202

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 30,29 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·706,9) = 2,358 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,2/6,602 × 10⁻⁶ = 30294 N = 30,29 kN

Cevap

P = 30,29 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 5,923 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 110000·1257/500 = 276460 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 30000·276460/1,114 × 10⁶ = 7444 N

Gerilme

σ₂ = 7444/1257 = 5,923 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 5,923 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 4,205 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4,205 kN

Cevap

P_cr = 4,205 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 29,87 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·35000 = 70000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 29,87 mm

Cevap

d = 29,87 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 140,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,08007

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/3)·ln(20/4,4) = 0,5047

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5047/√(39,48 + 0,2547) = 0,08007

Cevap

ζ = 0,08007

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 2,906 Hz

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/10 + 1/50 → k_eq = 10·50/(10 + 50) = 8,333 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(8333/25) = 18,26 rad/s

f_n = 18,26/(2π) = 2,906 Hz

Cevap

f_n = 2,906 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design