Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

Bir kayış, 1440 rpm ile dönen 150 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 1000 N, gevşek tarafta 200 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 200 N

P = kW

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, merkezleri 800 mm arayla duran 100 mm’lik ve 250 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.

d₁ = 100 mmd₂ = 250 mmC = 800 mm

θ = °

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 250 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1500 dev/dk’da 100 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 80 MPa ve σᵧ = 40 MPa’dır. En büyük asal gerilme 95 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 80 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 95 MPa

τ_xy = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = −20 MPa, σᵧ = 40 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 250 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = −20 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 55 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 10 kNparça 1: Ø35 mm, 0,5 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø12 mm, 0,5 m, pirinç (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 5 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 5 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

80 kg’lık bir kütle, rijitliği 8 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 320 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 80 kgk = 8 kN/mc = 320 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

50 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 30 kN/m ve k₂ = 15 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 9,048 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış hızı

v = 11,31 m/s

Güç

P = (1000 − 200)·11,31 = 9048 W = 9,048 kW

Cevap

P = 9,048 kW

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: θ = 169,2 °

Kayış açısı

asin(0,09375) = 5,379°

Sarılma açısı

θ = 180 − 2·5,379 = 169,2°

Cevap

θ = 169,2°

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,7183 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(26000·613592) = 0,01254 rad

φ = 0,01254·180/π = 0,7183°

Cevap

φ = 0,7183°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 25,42 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Polar atalet momenti

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·30/751193 = 25,42 MPa

Cevap

τ_max = 25,42 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 28,72 MPa

Gerekli yarıçap

C = (80 + 40)/2 = 60 MPa

R = σ₁ − C = 95 − 60 = 35 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 20²) = 28,72 MPa

Cevap

τ_xy = 28,72 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 2,868

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 10 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 60 MPa, σ₂ = −40 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(60² − 60·(−40) + (−40)²) = 87,18 MPa

n = 250/87,18 = 2,868

Cevap

n = 2,868

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 5,862 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 55·1000/201,1 = 273,5 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 273,5/70000 = 0,003908 = 3908 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,003908·1500 mm = 5,862 mm

Cevap

δ = 5,862 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,4865 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 10,39 MPa

σ₂ = 88,42 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 10,39·500/117000 = 0,04442 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 88,42·500/100000 = 0,4421 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,4865 mm

Cevap

δ = 0,4865 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 102,8 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/4000² = 102808 N = 102,8 kN

Cevap

P_cr = 102,8 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 25,07 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 25,07 mm

Cevap

d = 25,07 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 279,2, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,2

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·80) = 1600 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 320/1600 = 0,2

Cevap

ζ = 0,2

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 45 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 15 = 45 kN/m

Cevap

k_eq = 45 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design