Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile çalışan 1,5 kW’lık bir motor, 20 dişli ve 2 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet F_t değerini bulun.

P = 1,5 kWn = 1440 rpmN₁ = 20m = 2 mm

F_t = N

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, merkezleri 1200 mm arayla duran 120 mm’lik ve 300 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.

d₁ = 120 mmd₂ = 300 mmC = 1200 mm

θ = °

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 100 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 75 MPa değerini aşmadan 1450 dev/dk’da 30 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 130 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 130 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 90 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 420 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 90 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 50 mm, E = 110 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 400 mm’dir ve rijit levhalar arasında 80 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 80 kNçubuk: Ø20 mm, E = 200 GPaboru: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 120 MPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 50 mm, E = 110 GPa, izin verilen gerilme 80 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaboru: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 65 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 65 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 15 kN/m olan bir yay üzerindeki 10 kg’lık bir kütlenin, 0,4 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 10 kgk = 15 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 25 kN/m, alttakinin k₂ = 12 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: F_t = 497,4 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Pinyondaki tork

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 1500/150,8 = 9,947 N·m

Bölüm dairesi çapı

d = m·N = 2·20 = 40 mm

Teğetsel kuvvet

F_t = 2T/d = 2·9,947/0,04 = 497,4 N

Cevap

F_t = 497,4 N

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: θ = 171,4 °

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış açısı

asin(0,075) = 4,301°

Sarılma açısı

θ = 180 − 2·4,301 = 171,4°

Cevap

θ = 171,4°

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,8979 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(26000·613592) = 0,01567 rad

φ = 0,01567·180/π = 0,8979°

Cevap

φ = 0,8979°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 23,76 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·197572/(π·75)) = 23,76 mm

Cevap

d = 23,76 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 85,44 MPa

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((130 − −30)/2)² + 30²) = 85,44 MPa

Cevap

τ_max = 85,44 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 2,775

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 5 MPa, R = 87,32 MPa

σ₁ = 92,32 MPa, σ₂ = −82,32 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(92,32² − 92,32·(−82,32) + (−82,32)²) = 151,3 MPa

n = 420/151,3 = 2,775

Cevap

n = 2,775

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,08005 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·3063 = 3,998 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 80000·400/3,998 × 10⁸ = 0,08005 mm

Cevap

δ = 0,08005 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 287 kN

Alanlar

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·3063 = 4,783 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,0006, 0,0007273) = 0,0006 (çelik)

En büyük yük

P_max = 0,0006·4,783 × 10⁸ = 286984 N = 287 kN

Cevap

P_max = 287 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 3,473 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/5000² = 3473 N = 3,473 kN

Cevap

P_cr = 3,473 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 62,58 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·65000 = 130000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 62,58 mm

Cevap

d = 62,58 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 127,8, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 5,649 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(15000/10) = 38,73 rad/s

f_n = 38,73/(2π) = 6,164 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6,164·√(1 − 0,4²) = 5,649 Hz

Cevap

f_d = 5,649 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 8,108 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/12 → k_eq = 25·12/(25 + 12) = 8,108 kN/m

Cevap

k_eq = 8,108 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design