Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1500 rpm ile çalışan 7,5 kW’lık bir motor 32 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 36 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %95. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 7,5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 32N₂ = 36η = 95%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde giriş milindeki A dişlisi (25 diş) 2880 rpm ile dönüyor ve B dişlisini (72 diş) tahrik ediyor. C dişlisi (36 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini tahrik ediyor. Çıkış 600 rpm ile dönmelidir. D dişlisinin kaç dişi N_D olmalıdır?

n_in = 2880 rpmA = 25B = 72C = 36n_out = 600 rpm

N_D =

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir mil 1000 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,7 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 50 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 300 dev/dk’da 10 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 10 kWN = 300 rpmd_o = 80 mmd_i = 64 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 30 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 35° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 30 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 600 mm ve et kalınlığı 12 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 2,5 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 40° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişi boyunca etkiyen kayma gerilmesinin büyüklüğü |τ_n| değerini bulun.

D = 600 mmt = 12 mmp = 2,5 MPaα = 40°

|τ_n| = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 30 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 40 kNparça 1: Ø30 mm, 0,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø20 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 70 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 70 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

100 kg’lık bir kütle, rijitliği 100 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 1260 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 100 kgk = 100 kN/mc = 1260 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 50 kN/m, alttakinin k₂ = 5 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 47,75 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/157,1 = 47,75 N·m

Cevap

T₁ = 47,75 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N_D = 60

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Ara mil hızı

n_B = n_C = 2880·25/72 = 1000 rpm

D dişlisinin diş sayısı

N_D = C·n_C/n_out = 36·1000/600 = 60

Cevap

N_D = 60

3.Millerin burulması

Cevap: d_o = 51,18 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·50·0,7599)) = 51,18 mm

d_i = 0,7·51,18 = 35,82 mm

Cevap

d_o = 51,18 mm

Dolu bir mil d = 46,7 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 5,363 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Polar atalet momenti

J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2,374 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·40/2,374 × 10⁶ = 5,363 MPa

Cevap

τ_max = 5,363 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = 44,77 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 20 − 10·0,342 − (−30)·0,9397 = 44,77 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = −4,771 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 40 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = 44,77 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: |τ_n| = 15,39 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 2,5·300/12 = 62,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 31,25 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

|τ_n| = (62,5 − 31,25)·sin 40°·cos 40° = 15,39 MPa

Cevap

|τ_n| = 15,39 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 1326 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/113,1 = 265,3 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 265,3/200000 = 0,001326 = 1326 µε

Cevap

ε = 1326 µε

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 4,042 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 56,59 MPa

σ₂ = 127,3 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 56,59·500/70000 = 0,4042 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 127,3·2000/70000 = 3,638 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,042 mm

Cevap

δ = 4,042 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 224,2 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1400² = 224242 N = 224,2 kN

Cevap

P_cr = 224,2 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 54,26 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·70000 = 210000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 54,26 mm

Cevap

d = 54,26 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 147,4, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,1992

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·100) = 6325 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 1260/6325 = 0,1992

Cevap

ζ = 0,1992

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 4,799 Hz

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/5 → k_eq = 50·5/(50 + 5) = 4,545 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(4545/5) = 30,15 rad/s

f_n = 30,15/(2π) = 4,799 Hz

Cevap

f_n = 4,799 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design