Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1450 rpm ile dönen 100 mm’lik bir kasnak, %2 kaymayla bir kayış aracılığıyla 450 mm’lik bir kasnağı tahrik ediyor. Tahrik edilen kasnağın hızını n₂ bulun.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 450 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, merkezleri 600 mm arayla duran 120 mm’lik ve 300 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.

d₁ = 120 mmd₂ = 300 mmC = 600 mm

θ = °

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 500 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

40 mm çaplı dolu bir pirinç mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 1,2 m ve B’den 0,8 m uzaklıktaki C’de 750 N·m tork uygulanıyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 40 mmT₀ = 750 N·ma = 1,2 mb = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −60 MPa, σᵧ = 70 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = −60 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

50 mm çaplı dolu bir mil, 500 N·m tork ile birlikte 70 kN eksenel basınç kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 50 mmF = −70 kNT = 500 N·m

τ_max = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 30 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 60 mm, uzunluk 400 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,4 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 120 kNparça 1: Ø30 mm, 1,5 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

20 kg’lık bir kütle, rijitliği 15 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 330 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 20 kgk = 15 kN/mc = 330 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

10 kg’lık bir kütle k₃ = 50 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 15 kN/m ve k₂ = 40 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 10 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n₂ = 315,8 rpm

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kaymasız hız

1450·100/450 = 322,2 rpm

Kaymayla

n₂ = 322,2·0,98 = 315,8 rpm

Cevap

n₂ = 315,8 rpm

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: θ = 162,7 °

Kayış açısı

asin(0,15) = 8,627°

Sarılma açısı

θ = 180 − 2·8,627 = 162,7°

Cevap

θ = 162,7°

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 11,21 °

Polar atalet momenti

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(80000·38350) = 0,1956 rad

φ = 0,1956·180/π = 11,21°

Cevap

φ = 11,21°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 35,81 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca T_A + T_B = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·0,8/2 = 300 N·m

T_B = 750·1,2/2 = 450 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İki torktan büyük olanı belirleyicidir (aynı çap).

τ_max = 16·450000/(π·40³) = 35,81 MPa

Cevap

τ_max = 35,81 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 76,32 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((−60 − 70)/2)² + 40²) = 76,32 MPa

Cevap

τ_max = 76,32 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 27,07 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = −70000/(π·50²/4) = −70000/1963 = −35,65 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·50³) = 20,37 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = −17,83 MPa

R = √((−17,83)² + 20,37²) = 27,07 MPa

Cevap

τ_max = 27,07 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 96,55 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·2827) = 2,021 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,4/4,143 × 10⁻⁶ = 96547 N = 96,55 kN

Cevap

P = 96,55 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 382 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 169,8 MPa

σ₂ = 382 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 382 MPa

Cevap

σ_max = 382 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 6,056 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2500² = 6056 N = 6,056 kN

Cevap

P_cr = 6,056 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 3,084 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/15 = 800

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3,084 MPa

Cevap

σ_cr = 3,084 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,3012

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·20) = 1095 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 330/1095 = 0,3012

Cevap

ζ = 0,3012

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 8,145 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 15 + 40 = 55 kN/m

k_eq = 55·50/(55 + 50) = 26,19 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(26190/10) = 51,18 rad/s

f_n = 51,18/(2π) = 8,145 Hz

Cevap

f_n = 8,145 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design