Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
1500 rpm ile çalışan 5,5 kW’lık bir motor 25 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 50 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %97. Motor milindeki tork T1 değerini bulun.
P = 5,5 kWn1 = 1500 rpmN1 = 25N2 = 50η = 97%
T1 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
1440 rpm’deki 3 kW’lık bir motor A dişlisini (12 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (18 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (12 diş), çıkış milindeki D dişlisini (18 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %95’dır. Çıkış torku Tout değerini bulun.
P = 3 kWnin = 1440 rpmA = 12B = 18C = 12D = 18ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.Millerin burulmasıOrta
0,8 m uzunluğundaki dolu bir çelik mil 200 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 2°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.
T = 200 N·mL = 0,8 mG = 80 GPaφallow = 2°
d = mm
4.Millerin burulmasıZor
Dolu bir mil, kayma gerilmesi 80 MPa değerini aşmadan 1450 dev/dk’da 50 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.
P = 50 kWN = 1450 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 40 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θp değerini −90° ile 90° arasında bulun.
σx = 40 MPaσy = −50 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
40 mm çaplı dolu bir mil, 1000 N·m tork ile birlikte 1000 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde en büyük asal gerilme σ1 değerini bulun.
d = 40 mmM = 1000 N·mT = 1000 N·m
σ1 = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.
P = 25 kNd = 30 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.
P = 60 kNparça 1: Ø40 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1 m, pirinç (E = 100 GPa)
δ = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 70 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 70 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
15 kg’lık bir kütle, rijitliği 50 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 90 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 15 kgk = 50 kN/mc = 90 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
10 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 20 kN/m ve k₂ = 50 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 10 kgk1 = 20 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: T1 = 35,01 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Motor torku
ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/157,1 = 35,01 N·m
Cevap
T1 = 35,01 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: Tout = 40,4 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Çıkış hızı
nout = 1440·(12/18)·(12/18) = 640 rpm
ωout = 2π·640/60 = 67,02 rad/s
Çıkış gücü ve tork
Pout = 3000·0,95² = 2708 W
Tout = Pout/ωout = 2708/67,02 = 40,4 N·m
Cevap
Tout = 40,4 N·m
3.Millerin burulması
Cevap: d = 27,64 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Gerekli polar atalet momenti
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 0,8 m = 800 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 2·π/180 = 0,03491 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·800/(80000·0,03491) = 57296 mm⁴
Çap
d = (32J/π)1/4 = 27,64 mm
Cevap
d = 27,64 mm
Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.
4.Millerin burulması
Cevap: d = 27,57 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m
Emniyet gerilmesinden çap
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·329286/(π·80)) = 27,57 mm
Cevap
d = 27,57 mm
Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: θp = −20,82 °
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dairedeki açı
Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.
2θp = atan2(2·−40, 40 − −50) = −41,63°
Elemandaki açı
θp = −20,82°
Cevap
θp = −20,82°
Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σ1 = 192,1 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Yüzeydeki gerilmeler
σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·40³) = 159,2 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79,58 MPa
Mohr dairesi
C = σ/2 = 79,58 MPa
R = √(79,58² + 79,58²) = 112,5 MPa
σ1 = C + R = 192,1 MPa
σ2 = C − R = −32,96 MPa
Cevap
σ1 = 192,1 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 0,6046 mm
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 25·1000/706,9 = 35,37 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 35,37/117000 = 0,0003023 = 302,3 µε
Uzama
δ = ε·L = 0,0003023·2000 mm = 0,6046 mm
Cevap
δ = 0,6046 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 4,348 mm
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 47,75 MPa
σ2 = 298,4 MPa
Parça uzamalarını toplayın
δ1 = σ1L1/E1 = 47,75·2000/70000 = 1,364 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 298,4·1000/100000 = 2,984 mm
δ = δ1 + δ2 = 4,348 mm
Cevap
δ = 4,348 mm
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 8,583 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2100² = 8583 N = 8,583 kN
Cevap
Pcr = 8,583 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 45,4 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 3·70000 = 210000 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 45,4 mm
Cevap
d = 45,4 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 123,4, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,05196
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·15) = 1732 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 90/1732 = 0,05196
Cevap
ζ = 0,05196
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 13,32 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.
keq = 20 + 50 = 70 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(70000/10) = 83,67 rad/s
fn = 83,67/(2π) = 13,32 Hz
Cevap
fn = 13,32 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design