Ölçme ve Enstrümantasyon: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Bölücü gerilimleri: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Çıkarılan: V_ab = V_a − V_b
Denge: R₁/R₂ = R₃/R₄
Kayar telli köprü: R/R_x = l/(100 − l)
Thévenin direnci: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Gerinim ölçer çarpanı: ΔR/R = GF·ε
Köprü çıkışı: çeyrek V_s·GF·ε/4, yarım V_s·GF·ε/2, tam V_s·GF·ε
Küçük değişim, tek kol: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Gerilme: σ = E·ε

Yöntem

Köprüyü aynı kaynağa bağlı iki gerilim bölücü olarak ele alın.
Denge için R₁/R₂ = R₃/R₄ yazın ve bilinmeyen direnci çözün.
Dengesiz bir köprüde V_a ve V_b’yi bölücülerden bulup çıkarın; çıkışı bir ölçü aleti yüklüyorsa Thévenin eşdeğerini kullanın.
Gerinim ölçerlerde gerinimi ΔR/R = GF·ε’ye çevirin ve çeyrek, yarım veya tam köprü için sırasıyla V_s·GF·ε/4, /2 veya ×1 kullanın.

Veri toplama ve örnekleme

Nyquist ölçütü: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Örtüşme frekansı: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Adım büyüklüğü: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kuantalama hatası (yuvarlama): ±½ LSB
Kesen ADC kodu: D = ⌊V_in/LSB⌋
r çözünürlüğü için bit sayısı: 2ᴺ ≥ span/r
İdeal SQNR, tam ölçekli sinüs: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Veri hızı: kanal × f_s × N bit/s
Çoklayıcılı ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = bayt başına 10 bit; bayt/s = baud/çerçeve başına bit
Baud hızı bölücüsü: baud = f_clk/(16·D)

Yöntem

Verilenleri yazın: örnekleme hızı, sinyal frekansları, bit sayısı, giriş aralığı, baud hızı.
Örnekleme sorularında her frekansı f_s/2 ile karşılaştırın; daha yüksek bir frekans, f_s’nin en yakın katıyla f_a = |f − k·f_s| frekansında görünür.
Çözünürlük sorularında 1 LSB = V_FSR/2ᴺ değerini bulun ya da 2ᴺ ≥ aralık/çözünürlük koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.
Veri hızı ve UART bağlantılarında gönderilen her şeyi sayın: kanalları, saniyedeki örnekleri, örnek başına bitleri ya da tam baytları ve her çerçevenin başlama, eşlik ve durma bitlerini.

Op-amp devreleri

Eviren yükselteç: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Evirmeyen yükselteç: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Toplayıcı yükselteç: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
İdeal op-amp: V₊ = V₋, I_in = 0

Seri ve paralel dirençler

Seri dirençler: R_eq = R₁ + R₂ + …
Paralel dirençler: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
İki paralel direnç: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohm yasası: V = I·R
Güç: P = V·I = I²R = V²/R

Yöntem

Ağın uçlardan en uzak ucundan başlayın.
Seri dirençleri toplayarak, paralel dirençleri 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … ile birleştirin.
Her adımdan sonra devreyi yeniden çizin.
Uçlar arasında tek bir direnç kalana kadar tekrarlayın.

Thévenin ve Norton

Thévenin gerilimi: V_th = V_{open circuit}
Thévenin direnci: R_th: tüm kaynaklar kapalı, a–b’den görülen
Norton akımı: I_N = V_th/R_th
Yük akımı: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksimum güç aktarımı: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Yöntem

Yükü çıkarın ve iki ucu a ve b olarak işaretleyin.
a ve b arasındaki açık devre gerilimini bulun: bu V_th’dir.
Tüm bağımsız kaynakları devre dışı bırakın ve a–b uçlarından görülen direnci bulun: bu R_th’dir.
Yükü eşdeğer devreye geri bağlayın: R_th ile seri V_th.
Norton eşdeğeri için dönüştürün: I_N = V_th/R_th, paralel R_N = R_th ile.

2Alıştırma soruları

1.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerlerOrta

Dört kolu 100 Ω olan bir köprü 12 V ile besleniyor. R₂ sensörü değiştiğinde çıkış V_ab = 285,7 mV okunuyor. R₂’nin kesin değişimini (ΔR) bulun.

V_s = 12 VR = 100 ΩV_ab = 285,7 mV

ΔR = Ω

2.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerlerZor

Bir çeyrek köprü (tek etkin gerinim ölçer, GF = 2,1) 2,5 V ile uyarılıyor. Ölçülecek en büyük gerinim 600 µε’dir ve bir analog-sayısal dönüştürücünün girişinde 10 V vermelidir. Yükseltici kazancını (G) bulun.

V_s = 2,5 VGF = 2,1ε_max = 600 µεV_FS = 10 V

G =

3.Veri toplama ve örneklemeOrta

14,8 kHz sinüs dalgası, örtüşme önleyici filtre olmadan 8 kHz ile örnekleniyor. Örneklerde hangi frekansta f_a görünür? Hz cinsinden verin.

f = 14,8 kHzf_s = 8 kHz

f_a = Hz

4.Veri toplama ve örneklemeZor

10 bitlik bir ADC her örneği 9600 baud ile, 8E1 biçiminde (başlama biti, 8 veri biti, çift eşlik, 1 durma biti) bir UART üzerinden akıtıyor. Her örnek 2 tam bayt olarak gönderiliyor ve bağlantı her an meşgul. Örtüşme olmadan örneklenebilecek en yüksek sinyal frekansını f_max Hz cinsinden bulun.

baud = 9600 BdN = 108E1

f_max = Hz

5.Op-amp devreleriOrta

Bu evirmeyen yükseltecin gerilim kazancını 4 yapan geri besleme direnci R_f değerini seçin.

R₁ = 2 kΩA_v = 4

R_f = kΩ

6.Op-amp devreleriZor

Toplayıcı yükselteç, ±15 V ile beslenen ideal bir op-amp kullanır. Çıkış gerilimi V_out değerini bulun.

V₁ = −0,7 VV₂ = 0,6 VR₁ = 47 kΩR₂ = 100 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

7.Seri ve paralel dirençlerOrta

R₂ üzerinden geçen I_R2 akımını bulun.

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

8.Seri ve paralel dirençlerZor

Kaynağın verdiği ve R₁ üzerinden geçen I_R1 akımını bulun.

V₁ = 5 VR₁ = 15 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

9.Thévenin ve NortonOrta

a–b uçlarından görülen Thévenin direnci R_th değerini bulun.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 Ω

R_th = Ω

10.Thévenin ve NortonZor

Norton akımı I_N değerini bulun: uçlar kısa devre edilirse a’dan b’ye akan akım.

V₁ = 9 VI_s = 6 AR₁ = 2 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

3Çözeltiler

1.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Cevap: ΔR = 10 Ω

Wheatstone köprüsü: iki gerilim bölücü tek bir V_s kaynağını paylaşır. Soldaki R₁–R₂ bölücüsü V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), sağdaki R₃–R₄ bölücüsü V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄) verir; çıkış V_ab = V_a − V_b’dir. Köprü, R₁/R₂ = R₃/R₄, yani R₁·R₄ = R₂·R₃ olduğunda dengededir (V_ab = 0, ölçü aletinden akım geçmez). Çıkıştan bakıldığında köprü, R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ olan bir Thévenin kaynağıdır.

Düğüm gerilimi

V_a = 6 + 0,2857 = 6,286 V

Bölücüyü çözün

R₂ = 100·6,286/(12 − 6,286) = 110 Ω

ΔR = 110 − 100 = 10 Ω

Cevap

ΔR = 10 Ω

2.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Cevap: G = 12698

Gerinim ölçerler: bir gerinim ölçer direncini gerinimle değiştirir: ΔR/R = GF·ε; burada GF gerinim ölçer çarpanı olup metal folyo için yaklaşık 2’dir. Tüm kolları R olan bir köprüde tek etkin gerinim ölçer (çeyrek köprü) V_o ≈ V_s·GF·ε/4 verir. Bitişik kollarda zıt gerinimli iki etkin gerinim ölçer (yarım köprü) V_s·GF·ε/2, dört etkin gerinim ölçer (tam köprü) ise V_s·GF·ε verir. Gerilme, Hooke yasasından bulunur: σ = E·ε. Yük hücreleri duyarlılıklarını mV/V olarak belirtir: tam yükte, volt başına uyarma gerilimi için çıkış.

Tam ölçekte köprü çıkışı

V_o = 0,7875 mV

Kazanç

G = 10/0,0007875 = 12698

Cevap

G = 12698

3.Veri toplama ve örnekleme

Cevap: f_a = 1200 Hz

Örnekleme: bir ADC sinyali saniyede f_s kez ölçer. Nyquist–Shannon teoremine göre bir f frekansı ancak f < f_s/2 olduğu sürece doğru yakalanır; bu sınır Nyquist (katlanma) frekansıdır. Bu yüzden örnekleme hızı, en yüksek sinyal frekansının iki katını aşmalıdır. Daha yüksek bir frekans kaybolmaz: sonucu 0 ile f_s/2 arasına getiren k tam sayısıyla f_a = |f − k·f_s| frekansında bir örtüşme (alias) olarak görünür. Örnekler ikisini ayırt edemez; bu yüzden ADC’den önce bir analog örtüşme önleyici filtre, f_s/2’nin üzerindeki her şeyi kaldırmalıdır.

Nyquist frekansı

f_s/2 = 4 kHz < f = 14,8 kHz

Örnekleme hızının en yakın katı

k = round(14800/8000) = 2

Örtüşme frekansı

f_a = |14800 − 2·8000| = 1200 Hz

Cevap

f_a = 1200 Hz

Şekildeki kesikli eğri örtüşmedir: tamamen aynı örneklerden geçer.

4.Veri toplama ve örnekleme

Cevap: f_max = 218,2 Hz

UART: asenkron bir seri bağlantı her baytı bir çerçeve olarak gönderir: bir başlama biti (düşük), veri bitleri, isteğe bağlı bir eşlik biti ve bir ya da iki durma biti (yüksek). Baud hızı saniyedeki bit sayısıdır; yani bir bit T_b = 1/baud sürer ve n bitlik bir çerçeve n/baud sürer. Yaygın 8N1 biçiminde bayt başına 10 bit vardır. Baud üreteci saat frekansını böler: baud = f_clk/(16·D), D bir tam sayıdır; bu yüzden gerçek baud hızı hedeften biraz farklıdır, yaklaşık %2’nin altındaki bir hata genellikle kabul edilebilir.

Hatta örnek başına bit

2·11 = 22 bit

En yüksek örnekleme hızı

f_s,max = 9600/22 = 436,4 Hz

Nyquist sınırı

f_max = 436,4/2 = 218,2 Hz

Cevap

f_max = 218,2 Hz

5.Op-amp devreleri

Cevap: R_f = 6 kΩ

İdeal op-amp kuralları: negatif geri beslemeyle op-amp çıkışını iki girişi aynı gerilimde olacak şekilde sürer (V₋ = V₊) ve hiçbir girişe akım girmez. Bu iki gerçekle eviren girişte KAY yazmak çıkışı verir.

Evirmeyen yükselteç kazancı

V₋ = V₊ = V_in ve R₁’deki akım R_f’den de geçer, bu yüzden V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (4 − 1)·2 = 6 kΩ

Cevap

R_f = 6 kΩ

6.Op-amp devreleri

Cevap: V_out = 0,418 V

Giriş akımları

V₋ = 0, bu yüzden her giriş direncinin üzerinde kendi giriş geriliminin tamamı vardır.

I₁ = V₁/R₁ = −0,7/47 = −0,01489 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0,6/100 = 0,006 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,008894 mA

Çıkış gerilimi

V_out = −R_f·I_f = −47·(−0,008894) = 0,418 V

Cevap

V_out = 0,418 V

7.Seri ve paralel dirençler

Cevap: I_R2 = 2,026 A

Seri ve paralel dirençler: seride her dirençten aynı akım geçer ve R = R₁ + R₂ + …. Paralelde her direncin gerilimi aynıdır ve 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Merdiven ağı, tek bir eşdeğer direnç kalana kadar çift çift indirgenir.

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynağa en uzak uçtan başlayıp ona doğru geri gelin. Aynı akımı taşıyan dirençler seri; aynı iki düğüm arasındaki dirençler paraleldir.

R₃ + R₄ = 12 + 5 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 5·17/(5+17) = 3,864 Ω

R_eq = R₁ + 3,864 = 3 + 3,864 = 6,864 Ω

Kaynaktan çekilen akım

Kaynak yalnızca R_eq’yi görür; Ohm yasası verdiği akımı bulur. Bu akım R₁’den geçer.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/6,864 = 2,623 A

R₂’den geçen akım

A düğümündeki gerilimi bulmak için R₁ üzerindeki düşümü çıkarın; bu, R₂ üzerindeki gerilimdir.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 2,623·3 = 10,13 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,13/5 = 2,026 A

Cevap

I_R2 = 2,026 A

8.Seri ve paralel dirençler

Cevap: I_R1 = 0,2127 A

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynağa en uzak uçtan başlayıp ona doğru geri gelin. Aynı akımı taşıyan dirençler seri; aynı iki düğüm arasındaki dirençler paraleldir.

R₅ + R₆ = 5 + 25 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 1,875 Ω

R₃ + 1,875 = 11,88 Ω

R₂ ∥ 11,88 = 8,507 Ω

R_eq = R₁ + 8,507 = 15 + 8,507 = 23,51 Ω

Kaynaktan çekilen akım

Kaynak yalnızca R_eq’yi görür; Ohm yasası verdiği akımı bulur. Bu akım R₁’den geçer.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/23,51 = 0,2127 A

Cevap

I_R1 = 0,2127 A

9.Thévenin ve Norton

Cevap: R_th = 6,667 Ω

Thévenin teoremi: her doğrusal iki uçlu ağ, R_th direncine seri tek bir V_th gerilim kaynağı gibi davranır. Norton teoremi aynı ağı R_th ile paralel I_N = V_th/R_th akım kaynağı olarak verir.

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Gerilim kaynaklarını kısa devre, akım kaynaklarını açık devreyle değiştirin, sonra devreye a–b’den bakın.

R₁ ∥ R₂ = 10·2/(10+2) = 1,667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,667 + 5 = 6,667 Ω

10.Thévenin ve Norton

Cevap: I_N = 7,424 A

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Gerilim kaynaklarını kısa devre, akım kaynaklarını açık devreyle değiştirin, sonra devreye a–b’den bakın.

R₁ ∥ R₂ = 2·25/(2+25) = 1,852 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,852 + 4 = 5,852 Ω

Açık devre gerilimi V_th’yi bulun

a–b açıkken Iₛ’nin tek yolu R₃ üzerinden A düğümüne gitmektir. V_A’yı V₁ ve Iₛ’nin süperpozisyonuyla bulun, sonra R₃ üzerindeki düşümü ekleyin.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8,333 + 6·1,852 = 19,44 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 19,44 + 6·4 = 43,44 V

Norton eşdeğeri

Norton kaynağı, aynı devrenin R_th ile paralel bir akım kaynağı olarak görünümüdür. Akımı, a–b’deki kısa devre akımıdır.

I_N = V_th/R_th = 43,44/5,852 = 7,424 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Ölçme ve Enstrümantasyon: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Yöntem

Veri toplama ve örnekleme

Yöntem

Op-amp devreleri

Seri ve paralel dirençler

Yöntem

Thévenin ve Norton

Yöntem

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Düğüm gerilimi

Bölücüyü çözün

Cevap

Tam ölçekte köprü çıkışı

Kazanç

Cevap

Nyquist frekansı

Örnekleme hızının en yakın katı

Örtüşme frekansı

Cevap

Hatta örnek başına bit

En yüksek örnekleme hızı

Nyquist sınırı

Cevap

Evirmeyen yükselteç kazancı

Cevap

Giriş akımları

Çıkış gerilimi

Cevap

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynaktan çekilen akım

R₂’den geçen akım

Cevap

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynaktan çekilen akım

Cevap

Tüm kaynaklar kapalıyken Rth’yi bulun

Tüm kaynaklar kapalıyken Rth’yi bulun

Açık devre gerilimi Vth’yi bulun

Norton eşdeğeri

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Açık devre gerilimi V_th’yi bulun