Ölçme ve Enstrümantasyon: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Bölücü gerilimleri: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Çıkarılan: V_ab = V_a − V_b
Denge: R₁/R₂ = R₃/R₄
Kayar telli köprü: R/R_x = l/(100 − l)
Thévenin direnci: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Gerinim ölçer çarpanı: ΔR/R = GF·ε
Köprü çıkışı: çeyrek V_s·GF·ε/4, yarım V_s·GF·ε/2, tam V_s·GF·ε
Küçük değişim, tek kol: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Gerilme: σ = E·ε

Yöntem

Köprüyü aynı kaynağa bağlı iki gerilim bölücü olarak ele alın.
Denge için R₁/R₂ = R₃/R₄ yazın ve bilinmeyen direnci çözün.
Dengesiz bir köprüde V_a ve V_b’yi bölücülerden bulup çıkarın; çıkışı bir ölçü aleti yüklüyorsa Thévenin eşdeğerini kullanın.
Gerinim ölçerlerde gerinimi ΔR/R = GF·ε’ye çevirin ve çeyrek, yarım veya tam köprü için sırasıyla V_s·GF·ε/4, /2 veya ×1 kullanın.

Veri toplama ve örnekleme

Nyquist ölçütü: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Örtüşme frekansı: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Adım büyüklüğü: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kuantalama hatası (yuvarlama): ±½ LSB
Kesen ADC kodu: D = ⌊V_in/LSB⌋
r çözünürlüğü için bit sayısı: 2ᴺ ≥ span/r
İdeal SQNR, tam ölçekli sinüs: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Veri hızı: kanal × f_s × N bit/s
Çoklayıcılı ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = bayt başına 10 bit; bayt/s = baud/çerçeve başına bit
Baud hızı bölücüsü: baud = f_clk/(16·D)

Yöntem

Verilenleri yazın: örnekleme hızı, sinyal frekansları, bit sayısı, giriş aralığı, baud hızı.
Örnekleme sorularında her frekansı f_s/2 ile karşılaştırın; daha yüksek bir frekans, f_s’nin en yakın katıyla f_a = |f − k·f_s| frekansında görünür.
Çözünürlük sorularında 1 LSB = V_FSR/2ᴺ değerini bulun ya da 2ᴺ ≥ aralık/çözünürlük koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.
Veri hızı ve UART bağlantılarında gönderilen her şeyi sayın: kanalları, saniyedeki örnekleri, örnek başına bitleri ya da tam baytları ve her çerçevenin başlama, eşlik ve durma bitlerini.

Op-amp devreleri

Eviren yükselteç: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Evirmeyen yükselteç: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Toplayıcı yükselteç: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
İdeal op-amp: V₊ = V₋, I_in = 0

Seri ve paralel dirençler

Seri dirençler: R_eq = R₁ + R₂ + …
Paralel dirençler: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
İki paralel direnç: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohm yasası: V = I·R
Güç: P = V·I = I²R = V²/R

Yöntem

Ağın uçlardan en uzak ucundan başlayın.
Seri dirençleri toplayarak, paralel dirençleri 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … ile birleştirin.
Her adımdan sonra devreyi yeniden çizin.
Uçlar arasında tek bir direnç kalana kadar tekrarlayın.

Thévenin ve Norton

Thévenin gerilimi: V_th = V_{open circuit}
Thévenin direnci: R_th: tüm kaynaklar kapalı, a–b’den görülen
Norton akımı: I_N = V_th/R_th
Yük akımı: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksimum güç aktarımı: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Yöntem

Yükü çıkarın ve iki ucu a ve b olarak işaretleyin.
a ve b arasındaki açık devre gerilimini bulun: bu V_th’dir.
Tüm bağımsız kaynakları devre dışı bırakın ve a–b uçlarından görülen direnci bulun: bu R_th’dir.
Yükü eşdeğer devreye geri bağlayın: R_th ile seri V_th.
Norton eşdeğeri için dönüştürün: I_N = V_th/R_th, paralel R_N = R_th ile.

2Alıştırma soruları

1.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerlerOrta

Bir köprünün dört kolu 150 Ω’dur ve V_s = 3 V’tur. R₂ sensörü ΔR = 0,375 Ω artıyor. Küçük değişim yaklaşımını kullanarak çıkışı (V_ab) mV cinsinden bulun.

V_s = 3 VR = 150 ΩΔR = 0,375 Ω

V_ab = mV

2.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerlerZor

E = 200 GPa olan bir elemanın üzerindeki bir gerinim ölçer (GF = 2,12), 2,5 V ile uyarılan bir çeyrek köprü oluşturuyor. Çıkış 0,795 mV okunuyor. Eksenel gerilmeyi (σ) MPa cinsinden bulun.

V_s = 2,5 VGF = 2,12V_o = 0,795 mVE = 200 GPa

σ = MPa

3.Veri toplama ve örneklemeOrta

Giriş aralığı 0 ile 10 V arasında olan 10 bitlik bir ADC keser: çıkış kodu, 1 LSB = V_FSR/2ᴺ olmak üzere ⌊V_in/LSB⌋’dir. 8,052 V’luk bir giriş için onlu sistemdeki çıkış kodunu D bulun.

N = 10V_FSR = 10 VV_in = 8,052 V

D =

4.Veri toplama ve örneklemeZor

12 kHz bir kare dalga, örtüşme önleyici filtre olmadan 50 kHz ile örnekleniyor. Kare dalga 3f₁, 5f₁, 7f₁, … tek harmoniklerini içerir. 3f₁ harmoniği örneklenmiş veride hangi frekansta f_a görünür? kHz cinsinden verin.

f₁ = 12 kHzf_s = 50 kHzharmonik: 3f₁

f_a = kHz

5.Op-amp devreleriOrta

Op-amp idealdir ve ±15 V ile beslenir. Çıkış gerilimi V_out değerini bulun.

V_in = 1,5 VR_a = 2 kΩR_b = 4,7 kΩR₁ = 47 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

6.Op-amp devreleriZor

Toplayıcı yükselteç, ±15 V ile beslenen ideal bir op-amp kullanır. Çıkış gerilimi V_out değerini bulun.

V₁ = −0,1 VV₂ = 0,3 VR₁ = 2 kΩR₂ = 100 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

7.Seri ve paralel dirençlerOrta

Kaynağın verdiği ve R₁ üzerinden geçen I_R1 akımını bulun.

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

8.Seri ve paralel dirençlerZor

Kaynağın verdiği ve R₁ üzerinden geçen I_R1 akımını bulun.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

9.Thévenin ve NortonOrta

Norton akımı I_N değerini bulun: uçlar kısa devre edilirse a’dan b’ye akan akım.

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

10.Thévenin ve NortonZor

Norton akımı I_N değerini bulun: uçlar kısa devre edilirse a’dan b’ye akan akım.

V₁ = 18 VI_s = 2 AR₁ = 25 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 Ω

I_N = A

3Çözeltiler

1.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Cevap: V_ab = 1,875 mV

Wheatstone köprüsü: iki gerilim bölücü tek bir V_s kaynağını paylaşır. Soldaki R₁–R₂ bölücüsü V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), sağdaki R₃–R₄ bölücüsü V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄) verir; çıkış V_ab = V_a − V_b’dir. Köprü, R₁/R₂ = R₃/R₄, yani R₁·R₄ = R₂·R₃ olduğunda dengededir (V_ab = 0, ölçü aletinden akım geçmez). Çıkıştan bakıldığında köprü, R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ olan bir Thévenin kaynağıdır.

Bağıl değişim

ΔR/R = 0,375/150 = 0,0025

Doğrusallaştırılmış çıkış

V_ab ≈ 3·0,0025/4 = 1,875 mV

Cevap

V_ab = 1,875 mV

Kesin değer 1,873 mV’tur; ΔR/R küçük olduğu sürece yaklaşım iyidir.

2.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Cevap: σ = 120 MPa

Gerinim ölçerler: bir gerinim ölçer direncini gerinimle değiştirir: ΔR/R = GF·ε; burada GF gerinim ölçer çarpanı olup metal folyo için yaklaşık 2’dir. Tüm kolları R olan bir köprüde tek etkin gerinim ölçer (çeyrek köprü) V_o ≈ V_s·GF·ε/4 verir. Bitişik kollarda zıt gerinimli iki etkin gerinim ölçer (yarım köprü) V_s·GF·ε/2, dört etkin gerinim ölçer (tam köprü) ise V_s·GF·ε verir. Gerilme, Hooke yasasından bulunur: σ = E·ε. Yük hücreleri duyarlılıklarını mV/V olarak belirtir: tam yükte, volt başına uyarma gerilimi için çıkış.

Birim şekil değiştirme

ε = 4·0,000795/(2,5·2,12) = 0,0006

Gerilme

σ = 200·10³ MPa·0,0006 = 120 MPa

Cevap

σ = 120 MPa

3.Veri toplama ve örnekleme

Cevap: D = 824

ADC çözünürlüğü: N bitlik bir dönüştürücü, tam ölçek aralığı V_FSR’yi 0’dan 2ᴺ − 1’e kadar 2ᴺ koda böler. Bir adım 1 LSB = V_FSR/2ᴺ’dir: dönüştürücünün gösterebildiği en küçük değişim. Kesen bir ADC ⌊V_in/LSB⌋ kodunu verir; yuvarlayan bir ADC gerçek değerden hiçbir zaman ½ LSB’den fazla uzak olmaz, bu onun kuantalama hatasıdır. Her ek bit LSB’yi yarıya indirir ve tam ölçekli bir sinüs için ideal sinyal-kuantalama gürültüsü oranına SQNR = 6,02·N + 1,76 dB yaklaşık 6 dB ekler. Bir aralık üzerinde r çözünürlüğüne ulaşmak için 2ᴺ ≥ aralık/r koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.

Adım büyüklüğü

1 LSB = 10/2¹⁰ = 9,766 mV

Kod

V_in/LSB = 8052/9,766 = 824,5

kod = ⌊824,5⌋ = 824

Cevap

D = 824

İkili sistemde bu 1100111000’dır.

4.Veri toplama ve örnekleme

Cevap: f_a = 14 kHz

Örnekleme: bir ADC sinyali saniyede f_s kez ölçer. Nyquist–Shannon teoremine göre bir f frekansı ancak f < f_s/2 olduğu sürece doğru yakalanır; bu sınır Nyquist (katlanma) frekansıdır. Bu yüzden örnekleme hızı, en yüksek sinyal frekansının iki katını aşmalıdır. Daha yüksek bir frekans kaybolmaz: sonucu 0 ile f_s/2 arasına getiren k tam sayısıyla f_a = |f − k·f_s| frekansında bir örtüşme (alias) olarak görünür. Örnekler ikisini ayırt edemez; bu yüzden ADC’den önce bir analog örtüşme önleyici filtre, f_s/2’nin üzerindeki her şeyi kaldırmalıdır.

Harmonik frekansı

3f₁ = 3·12 kHz = 36 kHz

Örnekleme hızının en yakın katı

m = round(0,72) = 1

Örtüşme frekansı

f_a = |36 − 1·50| = 14 kHz

Cevap

f_a = 14 kHz

Örtüşme, hiçbir dijital filtrenin kaldıramayacağı sinyal bandının içine düşer. Yalnızca ADC’den önceki bir analog filtre işe yarar.

5.Op-amp devreleri

Cevap: V_out = 2,104 V

İdeal op-amp kuralları: negatif geri beslemeyle op-amp çıkışını iki girişi aynı gerilimde olacak şekilde sürer (V₋ = V₊) ve hiçbir girişe akım girmez. Bu iki gerçekle eviren girişte KAY yazmak çıkışı verir.

+ girişindeki gerilim

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 1,5·4,7/(2 + 4,7) = 1,052 V

Evirmeyen kazanç

V₋ = V₊ ve R₁’den geçen akım R_f’den de geçer.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 1,052·(1 + 47/47) = 2,104 V

Cevap

V_out = 2,104 V

6.Op-amp devreleri

Cevap: V_out = 2,209 V

Giriş akımları

V₋ = 0, bu yüzden her giriş direncinin üzerinde kendi giriş geriliminin tamamı vardır.

I₁ = V₁/R₁ = −0,1/2 = −0,05 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0,3/100 = 0,003 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,047 mA

Çıkış gerilimi

V_out = −R_f·I_f = −47·(−0,047) = 2,209 V

Cevap

V_out = 2,209 V

7.Seri ve paralel dirençler

Cevap: I_R1 = 2,519 A

Seri ve paralel dirençler: seride her dirençten aynı akım geçer ve R = R₁ + R₂ + …. Paralelde her direncin gerilimi aynıdır ve 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Merdiven ağı, tek bir eşdeğer direnç kalana kadar çift çift indirgenir.

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynağa en uzak uçtan başlayıp ona doğru geri gelin. Aynı akımı taşıyan dirençler seri; aynı iki düğüm arasındaki dirençler paraleldir.

R₃ + R₄ = 2 + 10 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 5·12/(5+12) = 3,529 Ω

R_eq = R₁ + 3,529 = 6 + 3,529 = 9,529 Ω

Kaynaktan çekilen akım

Kaynak yalnızca R_eq’yi görür; Ohm yasası verdiği akımı bulur. Bu akım R₁’den geçer.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/9,529 = 2,519 A

Cevap

I_R1 = 2,519 A

8.Seri ve paralel dirençler

Cevap: I_R1 = 0,8882 A

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynağa en uzak uçtan başlayıp ona doğru geri gelin. Aynı akımı taşıyan dirençler seri; aynı iki düğüm arasındaki dirençler paraleldir.

R₅ + R₆ = 2 + 12 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 5,091 Ω

R₃ + 5,091 = 11,09 Ω

R₂ ∥ 11,09 = 5,259 Ω

R_eq = R₁ + 5,259 = 6 + 5,259 = 11,26 Ω

Kaynaktan çekilen akım

Kaynak yalnızca R_eq’yi görür; Ohm yasası verdiği akımı bulur. Bu akım R₁’den geçer.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/11,26 = 0,8882 A

Cevap

I_R1 = 0,8882 A

9.Thévenin ve Norton

Cevap: I_N = 1,714 A

Thévenin teoremi: her doğrusal iki uçlu ağ, R_th direncine seri tek bir V_th gerilim kaynağı gibi davranır. Norton teoremi aynı ağı R_th ile paralel I_N = V_th/R_th akım kaynağı olarak verir.

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Gerilim kaynaklarını kısa devre, akım kaynaklarını açık devreyle değiştirin, sonra devreye a–b’den bakın.

R₁ ∥ R₂ = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,4 + 6 = 8,4 Ω

Açık devre gerilimi V_th’yi bulun

a–b açıkken R₃’ten akım geçmez, bu yüzden üzerinde düşüm yoktur ve V_b = V_A olur. R₁ ve R₂ bir gerilim bölücü oluşturur.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·12/(3+12) = 14,4 V

Norton eşdeğeri

Norton kaynağı, aynı devrenin R_th ile paralel bir akım kaynağı olarak görünümüdür. Akımı, a–b’deki kısa devre akımıdır.

I_N = V_th/R_th = 14,4/8,4 = 1,714 A

10.Thévenin ve Norton

Cevap: I_N = 2,269 A

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Gerilim kaynaklarını kısa devre, akım kaynaklarını açık devreyle değiştirin, sonra devreye a–b’den bakın.

R₁ ∥ R₂ = 25·10/(25+10) = 7,143 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7,143 + 12 = 19,14 Ω

Açık devre gerilimi V_th’yi bulun

a–b açıkken Iₛ’nin tek yolu R₃ üzerinden A düğümüne gitmektir. V_A’yı V₁ ve Iₛ’nin süperpozisyonuyla bulun, sonra R₃ üzerindeki düşümü ekleyin.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5,143 + 2·7,143 = 19,43 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 19,43 + 2·12 = 43,43 V

Norton eşdeğeri

Norton kaynağı, aynı devrenin R_th ile paralel bir akım kaynağı olarak görünümüdür. Akımı, a–b’deki kısa devre akımıdır.

I_N = V_th/R_th = 43,43/19,14 = 2,269 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Ölçme ve Enstrümantasyon: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Yöntem

Veri toplama ve örnekleme

Yöntem

Op-amp devreleri

Seri ve paralel dirençler

Yöntem

Thévenin ve Norton

Yöntem

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Bağıl değişim

Doğrusallaştırılmış çıkış

Cevap

Birim şekil değiştirme

Gerilme

Cevap

Adım büyüklüğü

Kod

Cevap

Harmonik frekansı

Örnekleme hızının en yakın katı

Örtüşme frekansı

Cevap

+ girişindeki gerilim

Evirmeyen kazanç

Cevap

Giriş akımları

Çıkış gerilimi

Cevap

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynaktan çekilen akım

Cevap

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynaktan çekilen akım

Cevap

Tüm kaynaklar kapalıyken Rth’yi bulun

Açık devre gerilimi Vth’yi bulun

Norton eşdeğeri

Tüm kaynaklar kapalıyken Rth’yi bulun

Açık devre gerilimi Vth’yi bulun

Norton eşdeğeri

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Açık devre gerilimi V_th’yi bulun

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Açık devre gerilimi V_th’yi bulun