Ölçme ve Enstrümantasyon: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Bölücü gerilimleri: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Çıkarılan: V_ab = V_a − V_b
Denge: R₁/R₂ = R₃/R₄
Kayar telli köprü: R/R_x = l/(100 − l)
Thévenin direnci: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Gerinim ölçer çarpanı: ΔR/R = GF·ε
Köprü çıkışı: çeyrek V_s·GF·ε/4, yarım V_s·GF·ε/2, tam V_s·GF·ε
Küçük değişim, tek kol: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Gerilme: σ = E·ε

Yöntem

Köprüyü aynı kaynağa bağlı iki gerilim bölücü olarak ele alın.
Denge için R₁/R₂ = R₃/R₄ yazın ve bilinmeyen direnci çözün.
Dengesiz bir köprüde V_a ve V_b’yi bölücülerden bulup çıkarın; çıkışı bir ölçü aleti yüklüyorsa Thévenin eşdeğerini kullanın.
Gerinim ölçerlerde gerinimi ΔR/R = GF·ε’ye çevirin ve çeyrek, yarım veya tam köprü için sırasıyla V_s·GF·ε/4, /2 veya ×1 kullanın.

Veri toplama ve örnekleme

Nyquist ölçütü: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Örtüşme frekansı: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Adım büyüklüğü: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kuantalama hatası (yuvarlama): ±½ LSB
Kesen ADC kodu: D = ⌊V_in/LSB⌋
r çözünürlüğü için bit sayısı: 2ᴺ ≥ span/r
İdeal SQNR, tam ölçekli sinüs: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Veri hızı: kanal × f_s × N bit/s
Çoklayıcılı ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = bayt başına 10 bit; bayt/s = baud/çerçeve başına bit
Baud hızı bölücüsü: baud = f_clk/(16·D)

Yöntem

Verilenleri yazın: örnekleme hızı, sinyal frekansları, bit sayısı, giriş aralığı, baud hızı.
Örnekleme sorularında her frekansı f_s/2 ile karşılaştırın; daha yüksek bir frekans, f_s’nin en yakın katıyla f_a = |f − k·f_s| frekansında görünür.
Çözünürlük sorularında 1 LSB = V_FSR/2ᴺ değerini bulun ya da 2ᴺ ≥ aralık/çözünürlük koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.
Veri hızı ve UART bağlantılarında gönderilen her şeyi sayın: kanalları, saniyedeki örnekleri, örnek başına bitleri ya da tam baytları ve her çerçevenin başlama, eşlik ve durma bitlerini.

Op-amp devreleri

Eviren yükselteç: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Evirmeyen yükselteç: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Toplayıcı yükselteç: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
İdeal op-amp: V₊ = V₋, I_in = 0

Seri ve paralel dirençler

Seri dirençler: R_eq = R₁ + R₂ + …
Paralel dirençler: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
İki paralel direnç: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohm yasası: V = I·R
Güç: P = V·I = I²R = V²/R

Yöntem

Ağın uçlardan en uzak ucundan başlayın.
Seri dirençleri toplayarak, paralel dirençleri 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … ile birleştirin.
Her adımdan sonra devreyi yeniden çizin.
Uçlar arasında tek bir direnç kalana kadar tekrarlayın.

Thévenin ve Norton

Thévenin gerilimi: V_th = V_{open circuit}
Thévenin direnci: R_th: tüm kaynaklar kapalı, a–b’den görülen
Norton akımı: I_N = V_th/R_th
Yük akımı: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksimum güç aktarımı: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Yöntem

Yükü çıkarın ve iki ucu a ve b olarak işaretleyin.
a ve b arasındaki açık devre gerilimini bulun: bu V_th’dir.
Tüm bağımsız kaynakları devre dışı bırakın ve a–b uçlarından görülen direnci bulun: bu R_th’dir.
Yükü eşdeğer devreye geri bağlayın: R_th ile seri V_th.
Norton eşdeğeri için dönüştürün: I_N = V_th/R_th, paralel R_N = R_th ile.

2Alıştırma soruları

1.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerlerOrta

Bir köprünün dört kolu 250 Ω’dur ve V_s = 3 V’tur. R₂ sensörü ΔR = 20 Ω artıyor. Kesin çıkışı (V_ab) mV cinsinden bulun.

V_s = 3 VR = 250 ΩΔR = 20 Ω

V_ab = mV

2.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerlerZor

E = 210 GPa olan bir elemanın üzerindeki bir gerinim ölçer (GF = 2,12), 2,5 V ile uyarılan bir çeyrek köprü oluşturuyor. Çıkış 0,265 mV okunuyor. Eksenel gerilmeyi (σ) MPa cinsinden bulun.

V_s = 2,5 VGF = 2,12V_o = 0,265 mVE = 210 GPa

σ = MPa

3.Veri toplama ve örneklemeOrta

6,4 kHz sinüs dalgası, örtüşme önleyici filtre olmadan 4 kHz ile örnekleniyor. Örneklerde hangi frekansta f_a görünür? Hz cinsinden verin.

f = 6,4 kHzf_s = 4 kHz

f_a = Hz

4.Veri toplama ve örneklemeZor

Bir ses ölçümü, tam ölçekli bir sinüs dalgası için en az 75 dB ideal sinyal-kuantalama gürültüsü oranı gerektiriyor. En küçük ADC bit sayısını N bulun.

SQNR ≥ 75 dB

N =

5.Op-amp devreleriOrta

Bu evirmeyen yükseltecin gerilim kazancını 8 yapan geri besleme direnci R_f değerini seçin.

R₁ = 100 kΩA_v = 8

R_f = kΩ

6.Op-amp devreleriZor

İki ideal op-amp kademesi kaskat bağlanmıştır: bir eviren yükselteç (R₁, R_f1) ve ardından bir evirmeyen yükselteç (toprağa R₂, geri beslemede R_f2). İkisi de ±15 V ile beslenir. Toplam gerilim kazancı A_v = V_out/V_in değerini bulun.

R₁ = 4,7 kΩR_f1 = 22 kΩR₂ = 2 kΩR_f2 = 1 kΩ

A_v =

7.Seri ve paralel dirençlerOrta

R₂ üzerinden geçen I_R2 akımını bulun.

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

8.Seri ve paralel dirençlerZor

Kaynağın verdiği ve R₁ üzerinden geçen I_R1 akımını bulun.

V₁ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

9.Thévenin ve NortonOrta

a–b arasına R_L = 3 Ω yük bağlanmıştır. Devrenin geri kalanını Thévenin eşdeğeriyle değiştirin ve yük akımı I_L değerini bulun.

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

10.Thévenin ve NortonZor

a–b uçlarından görülen Thévenin gerilimi V_th değerini bulun.

V₁ = 30 VI_s = 4 AR₁ = 25 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 Ω

V_th = V

3Çözeltiler

1.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Cevap: V_ab = 57,69 mV

Wheatstone köprüsü: iki gerilim bölücü tek bir V_s kaynağını paylaşır. Soldaki R₁–R₂ bölücüsü V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), sağdaki R₃–R₄ bölücüsü V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄) verir; çıkış V_ab = V_a − V_b’dir. Köprü, R₁/R₂ = R₃/R₄, yani R₁·R₄ = R₂·R₃ olduğunda dengededir (V_ab = 0, ölçü aletinden akım geçmez). Çıkıştan bakıldığında köprü, R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ olan bir Thévenin kaynağıdır.

Düğüm gerilimleri

V_a = 3·270/520 = 1,558 V

V_b = 1,5 V

Çıkarılan

V_ab = 57,69 mV

Cevap

V_ab = 57,69 mV

V_s·ΔR/(4R) = 60 mV doğrusal tahmini % 4 fazladır: çeyrek köprü tam doğrusal değildir.

2.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Cevap: σ = 42 MPa

Gerinim ölçerler: bir gerinim ölçer direncini gerinimle değiştirir: ΔR/R = GF·ε; burada GF gerinim ölçer çarpanı olup metal folyo için yaklaşık 2’dir. Tüm kolları R olan bir köprüde tek etkin gerinim ölçer (çeyrek köprü) V_o ≈ V_s·GF·ε/4 verir. Bitişik kollarda zıt gerinimli iki etkin gerinim ölçer (yarım köprü) V_s·GF·ε/2, dört etkin gerinim ölçer (tam köprü) ise V_s·GF·ε verir. Gerilme, Hooke yasasından bulunur: σ = E·ε. Yük hücreleri duyarlılıklarını mV/V olarak belirtir: tam yükte, volt başına uyarma gerilimi için çıkış.

Birim şekil değiştirme

ε = 4·0,000265/(2,5·2,12) = 0,0002

Gerilme

σ = 210·10³ MPa·0,0002 = 42 MPa

Cevap

σ = 42 MPa

3.Veri toplama ve örnekleme

Cevap: f_a = 1600 Hz

Örnekleme: bir ADC sinyali saniyede f_s kez ölçer. Nyquist–Shannon teoremine göre bir f frekansı ancak f < f_s/2 olduğu sürece doğru yakalanır; bu sınır Nyquist (katlanma) frekansıdır. Bu yüzden örnekleme hızı, en yüksek sinyal frekansının iki katını aşmalıdır. Daha yüksek bir frekans kaybolmaz: sonucu 0 ile f_s/2 arasına getiren k tam sayısıyla f_a = |f − k·f_s| frekansında bir örtüşme (alias) olarak görünür. Örnekler ikisini ayırt edemez; bu yüzden ADC’den önce bir analog örtüşme önleyici filtre, f_s/2’nin üzerindeki her şeyi kaldırmalıdır.

Nyquist frekansı

f_s/2 = 2 kHz < f = 6,4 kHz

Örnekleme hızının en yakın katı

k = round(6400/4000) = 2

Örtüşme frekansı

f_a = |6400 − 2·4000| = 1600 Hz

Cevap

f_a = 1600 Hz

Şekildeki kesikli eğri örtüşmedir: tamamen aynı örneklerden geçer.

4.Veri toplama ve örnekleme

Cevap: N = 13

ADC çözünürlüğü: N bitlik bir dönüştürücü, tam ölçek aralığı V_FSR’yi 0’dan 2ᴺ − 1’e kadar 2ᴺ koda böler. Bir adım 1 LSB = V_FSR/2ᴺ’dir: dönüştürücünün gösterebildiği en küçük değişim. Kesen bir ADC ⌊V_in/LSB⌋ kodunu verir; yuvarlayan bir ADC gerçek değerden hiçbir zaman ½ LSB’den fazla uzak olmaz, bu onun kuantalama hatasıdır. Her ek bit LSB’yi yarıya indirir ve tam ölçekli bir sinüs için ideal sinyal-kuantalama gürültüsü oranına SQNR = 6,02·N + 1,76 dB yaklaşık 6 dB ekler. Bir aralık üzerinde r çözünürlüğüne ulaşmak için 2ᴺ ≥ aralık/r koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.

N için çözün

N ≥ (75 − 1,76)/6,02 = 12,17

Yukarı yuvarlayın

N = 13

kontrol: 6,02·13 + 1,76 = 80,02 dB ≥ 75 dB

Cevap

N = 13

5.Op-amp devreleri

Cevap: R_f = 700 kΩ

İdeal op-amp kuralları: negatif geri beslemeyle op-amp çıkışını iki girişi aynı gerilimde olacak şekilde sürer (V₋ = V₊) ve hiçbir girişe akım girmez. Bu iki gerçekle eviren girişte KAY yazmak çıkışı verir.

Evirmeyen yükselteç kazancı

V₋ = V₊ = V_in ve R₁’deki akım R_f’den de geçer, bu yüzden V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (8 − 1)·100 = 700 kΩ

Cevap

R_f = 700 kΩ

6.Op-amp devreleri

Cevap: A_v = −7,021

Her kademenin kazancı

A₁ = −R_f1/R₁ = −22/4,7 = −4,681

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 1/2 = 1,5

Toplam kazanç

A_v = A₁·A₂ = −4,681·1,5 = −7,021

Cevap

A_v = −7,021

7.Seri ve paralel dirençler

Cevap: I_R2 = 0,9231 A

Seri ve paralel dirençler: seride her dirençten aynı akım geçer ve R = R₁ + R₂ + …. Paralelde her direncin gerilimi aynıdır ve 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Merdiven ağı, tek bir eşdeğer direnç kalana kadar çift çift indirgenir.

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynağa en uzak uçtan başlayıp ona doğru geri gelin. Aynı akımı taşıyan dirençler seri; aynı iki düğüm arasındaki dirençler paraleldir.

R₃ + R₄ = 5 + 5 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 2·10/(2+10) = 1,667 Ω

R_eq = R₁ + 1,667 = 20 + 1,667 = 21,67 Ω

Kaynaktan çekilen akım

Kaynak yalnızca R_eq’yi görür; Ohm yasası verdiği akımı bulur. Bu akım R₁’den geçer.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/21,67 = 1,108 A

R₂’den geçen akım

A düğümündeki gerilimi bulmak için R₁ üzerindeki düşümü çıkarın; bu, R₂ üzerindeki gerilimdir.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,108·20 = 1,846 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,846/2 = 0,9231 A

Cevap

I_R2 = 0,9231 A

8.Seri ve paralel dirençler

Cevap: I_R1 = 2,681 A

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynağa en uzak uçtan başlayıp ona doğru geri gelin. Aynı akımı taşıyan dirençler seri; aynı iki düğüm arasındaki dirençler paraleldir.

R₅ + R₆ = 6 + 2 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 4 Ω

R₃ + 4 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 3,429 Ω

R_eq = R₁ + 3,429 = 10 + 3,429 = 13,43 Ω

Kaynaktan çekilen akım

Kaynak yalnızca R_eq’yi görür; Ohm yasası verdiği akımı bulur. Bu akım R₁’den geçer.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/13,43 = 2,681 A

Cevap

I_R1 = 2,681 A

9.Thévenin ve Norton

Cevap: I_L = 0,2432 A

Thévenin teoremi: her doğrusal iki uçlu ağ, R_th direncine seri tek bir V_th gerilim kaynağı gibi davranır. Norton teoremi aynı ağı R_th ile paralel I_N = V_th/R_th akım kaynağı olarak verir.

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Gerilim kaynaklarını kısa devre, akım kaynaklarını açık devreyle değiştirin, sonra devreye a–b’den bakın.

R₁ ∥ R₂ = 10·12/(10+12) = 5,455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5,455 + 5 = 10,45 Ω

Açık devre gerilimi V_th’yi bulun

a–b açıkken R₃’ten akım geçmez, bu yüzden üzerinde düşüm yoktur ve V_b = V_A olur. R₁ ve R₂ bir gerilim bölücü oluşturur.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·12/(10+12) = 3,273 V

Yükü Thévenin eşdeğerine bağlayın

Thévenin kaynağı ve seri R_th, a–b’de özgün devreyle tamamen aynı davranır; bu yüzden yük basit bir seri çevre görür.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 3,273/(10,45 + 3) = 0,2432 A

10.Thévenin ve Norton

Cevap: V_th = 65,78 V

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Gerilim kaynaklarını kısa devre, akım kaynaklarını açık devreyle değiştirin, sonra devreye a–b’den bakın.

R₁ ∥ R₂ = 25·20/(25+20) = 11,11 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 11,11 + 2 = 13,11 Ω

Açık devre gerilimi V_th’yi bulun

a–b açıkken Iₛ’nin tek yolu R₃ üzerinden A düğümüne gitmektir. V_A’yı V₁ ve Iₛ’nin süperpozisyonuyla bulun, sonra R₃ üzerindeki düşümü ekleyin.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 13,33 + 4·11,11 = 57,78 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 57,78 + 4·2 = 65,78 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Ölçme ve Enstrümantasyon: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Yöntem

Veri toplama ve örnekleme

Yöntem

Op-amp devreleri

Seri ve paralel dirençler

Yöntem

Thévenin ve Norton

Yöntem

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Düğüm gerilimleri

Çıkarılan

Cevap

Birim şekil değiştirme

Gerilme

Cevap

Nyquist frekansı

Örnekleme hızının en yakın katı

Örtüşme frekansı

Cevap

N için çözün

Yukarı yuvarlayın

Cevap

Evirmeyen yükselteç kazancı

Cevap

Her kademenin kazancı

Toplam kazanç

Cevap

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynaktan çekilen akım

R₂’den geçen akım

Cevap

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynaktan çekilen akım

Cevap

Tüm kaynaklar kapalıyken Rth’yi bulun

Açık devre gerilimi Vth’yi bulun

Yükü Thévenin eşdeğerine bağlayın

Tüm kaynaklar kapalıyken Rth’yi bulun

Açık devre gerilimi Vth’yi bulun

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Açık devre gerilimi V_th’yi bulun

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Açık devre gerilimi V_th’yi bulun