Ölçme ve Enstrümantasyon: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Bölücü gerilimleri: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Çıkarılan: V_ab = V_a − V_b
Denge: R₁/R₂ = R₃/R₄
Kayar telli köprü: R/R_x = l/(100 − l)
Thévenin direnci: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Gerinim ölçer çarpanı: ΔR/R = GF·ε
Köprü çıkışı: çeyrek V_s·GF·ε/4, yarım V_s·GF·ε/2, tam V_s·GF·ε
Küçük değişim, tek kol: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Gerilme: σ = E·ε

Yöntem

Köprüyü aynı kaynağa bağlı iki gerilim bölücü olarak ele alın.
Denge için R₁/R₂ = R₃/R₄ yazın ve bilinmeyen direnci çözün.
Dengesiz bir köprüde V_a ve V_b’yi bölücülerden bulup çıkarın; çıkışı bir ölçü aleti yüklüyorsa Thévenin eşdeğerini kullanın.
Gerinim ölçerlerde gerinimi ΔR/R = GF·ε’ye çevirin ve çeyrek, yarım veya tam köprü için sırasıyla V_s·GF·ε/4, /2 veya ×1 kullanın.

Veri toplama ve örnekleme

Nyquist ölçütü: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Örtüşme frekansı: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Adım büyüklüğü: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kuantalama hatası (yuvarlama): ±½ LSB
Kesen ADC kodu: D = ⌊V_in/LSB⌋
r çözünürlüğü için bit sayısı: 2ᴺ ≥ span/r
İdeal SQNR, tam ölçekli sinüs: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Veri hızı: kanal × f_s × N bit/s
Çoklayıcılı ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = bayt başına 10 bit; bayt/s = baud/çerçeve başına bit
Baud hızı bölücüsü: baud = f_clk/(16·D)

Yöntem

Verilenleri yazın: örnekleme hızı, sinyal frekansları, bit sayısı, giriş aralığı, baud hızı.
Örnekleme sorularında her frekansı f_s/2 ile karşılaştırın; daha yüksek bir frekans, f_s’nin en yakın katıyla f_a = |f − k·f_s| frekansında görünür.
Çözünürlük sorularında 1 LSB = V_FSR/2ᴺ değerini bulun ya da 2ᴺ ≥ aralık/çözünürlük koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.
Veri hızı ve UART bağlantılarında gönderilen her şeyi sayın: kanalları, saniyedeki örnekleri, örnek başına bitleri ya da tam baytları ve her çerçevenin başlama, eşlik ve durma bitlerini.

Op-amp devreleri

Eviren yükselteç: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Evirmeyen yükselteç: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Toplayıcı yükselteç: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
İdeal op-amp: V₊ = V₋, I_in = 0

Seri ve paralel dirençler

Seri dirençler: R_eq = R₁ + R₂ + …
Paralel dirençler: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
İki paralel direnç: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohm yasası: V = I·R
Güç: P = V·I = I²R = V²/R

Yöntem

Ağın uçlardan en uzak ucundan başlayın.
Seri dirençleri toplayarak, paralel dirençleri 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … ile birleştirin.
Her adımdan sonra devreyi yeniden çizin.
Uçlar arasında tek bir direnç kalana kadar tekrarlayın.

Thévenin ve Norton

Thévenin gerilimi: V_th = V_{open circuit}
Thévenin direnci: R_th: tüm kaynaklar kapalı, a–b’den görülen
Norton akımı: I_N = V_th/R_th
Yük akımı: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksimum güç aktarımı: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Yöntem

Yükü çıkarın ve iki ucu a ve b olarak işaretleyin.
a ve b arasındaki açık devre gerilimini bulun: bu V_th’dir.
Tüm bağımsız kaynakları devre dışı bırakın ve a–b uçlarından görülen direnci bulun: bu R_th’dir.
Yükü eşdeğer devreye geri bağlayın: R_th ile seri V_th.
Norton eşdeğeri için dönüştürün: I_N = V_th/R_th, paralel R_N = R_th ile.

2Alıştırma soruları

1.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerlerOrta

50 Ω dirençli bir galvanometre, gösterilen köprünün a ve b uçları arasına bağlanıyor (V_s = 12 V). a’dan b’ye galvanometre akımını (I_g) µA cinsinden bulun.

V_s = 12 VR₁ = 100 ΩR₂ = 60 ΩR₃ = 120 ΩR₄ = 60 ΩR_g = 50 Ω

I_g = µA

2.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerlerZor

120 Ω kollu bir köprü 10 V ile uyarılıyor ve içinde dört etkin gerinim ölçer, ikisi çekmede ve ikisi basmada (tam köprü) bulunuyor. Gerinim ölçer çarpanı 2, gerinim 500 µε’dir. Köprü çıkışını (V_o) mV cinsinden bulun.

V_s = 10 VGF = 2ε = 500 µε

V_o = mV

3.Veri toplama ve örneklemeOrta

Bir algılayıcı uzaklık büyüklüğünü 500 mm aralığında ölçüyor ve çıkışı bir ADC’nin tüm giriş aralığını dolduruyor. Okuma 0,1 mm çözünürlüğünde ayırt edilmelidir. ADC’nin ihtiyaç duyduğu en küçük bit sayısını N bulun.

aralık = 500 mmçözünürlük = 0,1 mm

N =

4.Veri toplama ve örneklemeZor

Bir sıcaklık algılayıcısı 5 mV/°C verir (0 °C’de 0 V). Sinyali 2,5 kat yükseltilir ve aralığı 0 ile 2,5 V olan 12 bitlik bir ADC’ye verilir (1 LSB = V_FSR/2ᴺ). Bir LSB’ye karşılık gelen sıcaklık değişimini ΔT_LSB bulun.

S = 5 mV/°CG = 2,5N = 12V_FSR = 2,5 V

ΔT_LSB = °C

5.Op-amp devreleriOrta

Fark yükselteci, ±15 V ile beslenen ideal bir op-amp kullanır; R₃ = R₁ ve R₄ = R₂. Çıkış gerilimi V_out değerini bulun.

V₁ = 1,6 VV₂ = 1,9 VR₁ = R₃ = 10 kΩR₂ = R₄ = 100 kΩ

V_out = V

6.Op-amp devreleriZor

İki ideal op-amp kademesi kaskat bağlanmıştır: bir eviren yükselteç (R₁, R_f1) ve ardından bir evirmeyen yükselteç (toprağa R₂, geri beslemede R_f2). İkisi de ±15 V ile beslenir. Giriş V_in = −0,9 V’tur. Çıkış gerilimi V_out değerini bulun.

R₁ = 47 kΩR_f1 = 47 kΩR₂ = 2 kΩR_f2 = 22 kΩV_in = −0,9 V

V_out = V

7.Seri ve paralel dirençlerOrta

Kaynağın verdiği ve R₁ üzerinden geçen I_R1 akımını bulun.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

8.Seri ve paralel dirençlerZor

V₁ kaynağının gördüğü eşdeğer direnç R_eq değerini bulun.

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

9.Thévenin ve NortonOrta

Norton akımı I_N değerini bulun: uçlar kısa devre edilirse a’dan b’ye akan akım.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

10.Thévenin ve NortonZor

a–b uçlarından görülen Thévenin gerilimi V_th değerini bulun.

V₁ = 15 VI_s = 0,5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

3Çözeltiler

1.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Cevap: I_g = 3922 µA

Wheatstone köprüsü: iki gerilim bölücü tek bir V_s kaynağını paylaşır. Soldaki R₁–R₂ bölücüsü V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), sağdaki R₃–R₄ bölücüsü V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄) verir; çıkış V_ab = V_a − V_b’dir. Köprü, R₁/R₂ = R₃/R₄, yani R₁·R₄ = R₂·R₃ olduğunda dengededir (V_ab = 0, ölçü aletinden akım geçmez). Çıkıştan bakıldığında köprü, R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ olan bir Thévenin kaynağıdır.

Thévenin gerilimi

V_th = 12·(60/160 − 60/180) = 0,5 V

Thévenin direnci

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 77,5 Ω

Galvanometre akımı

I_g = 0,5/(77,5 + 50) = 3922 µA

Cevap

I_g = 3922 µA

2.Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Cevap: V_o = 10 mV

Gerinim ölçerler: bir gerinim ölçer direncini gerinimle değiştirir: ΔR/R = GF·ε; burada GF gerinim ölçer çarpanı olup metal folyo için yaklaşık 2’dir. Tüm kolları R olan bir köprüde tek etkin gerinim ölçer (çeyrek köprü) V_o ≈ V_s·GF·ε/4 verir. Bitişik kollarda zıt gerinimli iki etkin gerinim ölçer (yarım köprü) V_s·GF·ε/2, dört etkin gerinim ölçer (tam köprü) ise V_s·GF·ε verir. Gerilme, Hooke yasasından bulunur: σ = E·ε. Yük hücreleri duyarlılıklarını mV/V olarak belirtir: tam yükte, volt başına uyarma gerilimi için çıkış.

Bağıl direnç değişimi

ΔR/R = 2·500·10⁻⁶ = 0,001

Köprü çıkışı

V_o = V_s·GF·ε = 10·0,001 = 10 mV

Cevap

V_o = 10 mV

3.Veri toplama ve örnekleme

Cevap: N = 13

ADC çözünürlüğü: N bitlik bir dönüştürücü, tam ölçek aralığı V_FSR’yi 0’dan 2ᴺ − 1’e kadar 2ᴺ koda böler. Bir adım 1 LSB = V_FSR/2ᴺ’dir: dönüştürücünün gösterebildiği en küçük değişim. Kesen bir ADC ⌊V_in/LSB⌋ kodunu verir; yuvarlayan bir ADC gerçek değerden hiçbir zaman ½ LSB’den fazla uzak olmaz, bu onun kuantalama hatasıdır. Her ek bit LSB’yi yarıya indirir ve tam ölçekli bir sinüs için ideal sinyal-kuantalama gürültüsü oranına SQNR = 6,02·N + 1,76 dB yaklaşık 6 dB ekler. Bir aralık üzerinde r çözünürlüğüne ulaşmak için 2ᴺ ≥ aralık/r koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.

Gereken adım sayısı

500/0,1 = 5000

Bit sayısı

log₂(5000) = 12,29

2¹² = 4096 < 5000 ≤ 2¹³ = 8192

N = 13

Cevap

N = 13

4.Veri toplama ve örnekleme

Cevap: ΔT_LSB = 0,04883 °C

Adım büyüklüğü

1 LSB = 2500/4096 = 0,6104 mV

ADC’deki duyarlılık

5·2,5 = 12,5 mV/°C

Sıcaklık çözünürlüğü

ΔT_LSB = 0,6104/12,5 = 0,04883 °C

Cevap

ΔT_LSB = 0,04883 °C

ADC 200 °C’de tam ölçeğe ulaşır.

5.Op-amp devreleri

Cevap: V_out = 3 V

İdeal op-amp kuralları: negatif geri beslemeyle op-amp çıkışını iki girişi aynı gerilimde olacak şekilde sürer (V₋ = V₊) ve hiçbir girişe akım girmez. Bu iki gerçekle eviren girişte KAY yazmak çıkışı verir.

Girişlerdeki gerilim

R₃ ve R₄ aynı akımı taşır, bu yüzden bir gerilim bölücü oluşturur; geri besleme V₋ = V₊ yapar.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,9·100/(10 + 100) = 1,727 V

V₋ = V₊

Eviren girişte KAY

(1,6 − 1,727)/10 = (1,727 − V_out)/100

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (100/10)·(1,9 − 1,6) = 3 V

Cevap

V_out = 3 V

6.Op-amp devreleri

Cevap: V_out = 10,8 V

Her kademenin kazancı

A₁ = −R_f1/R₁ = −47/47 = −1

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 22/2 = 12

Kademe kademe

V₁ = −1·(−0,9) = 0,9 V

V_out = 12·0,9 = 10,8 V

Cevap

V_out = 10,8 V

7.Seri ve paralel dirençler

Cevap: I_R1 = 0,7615 A

Seri ve paralel dirençler: seride her dirençten aynı akım geçer ve R = R₁ + R₂ + …. Paralelde her direncin gerilimi aynıdır ve 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Merdiven ağı, tek bir eşdeğer direnç kalana kadar çift çift indirgenir.

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynağa en uzak uçtan başlayıp ona doğru geri gelin. Aynı akımı taşıyan dirençler seri; aynı iki düğüm arasındaki dirençler paraleldir.

R₃ + R₄ = 12 + 8 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 2·20/(2+20) = 1,818 Ω

R_eq = R₁ + 1,818 = 10 + 1,818 = 11,82 Ω

Kaynaktan çekilen akım

Kaynak yalnızca R_eq’yi görür; Ohm yasası verdiği akımı bulur. Bu akım R₁’den geçer.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/11,82 = 0,7615 A

Cevap

I_R1 = 0,7615 A

8.Seri ve paralel dirençler

Cevap: R_eq = 20,84 Ω

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynağa en uzak uçtan başlayıp ona doğru geri gelin. Aynı akımı taşıyan dirençler seri; aynı iki düğüm arasındaki dirençler paraleldir.

R₅ + R₆ = 3 + 6 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 2,25 Ω

R₃ + 2,25 = 8,25 Ω

R₂ ∥ 8,25 = 5,841 Ω

R_eq = R₁ + 5,841 = 15 + 5,841 = 20,84 Ω

Cevap

R_eq = 20,84 Ω

9.Thévenin ve Norton

Cevap: I_N = 1 A

Thévenin teoremi: her doğrusal iki uçlu ağ, R_th direncine seri tek bir V_th gerilim kaynağı gibi davranır. Norton teoremi aynı ağı R_th ile paralel I_N = V_th/R_th akım kaynağı olarak verir.

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Gerilim kaynaklarını kısa devre, akım kaynaklarını açık devreyle değiştirin, sonra devreye a–b’den bakın.

R₁ ∥ R₂ = 6·3/(6+3) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 4 = 6 Ω

Açık devre gerilimi V_th’yi bulun

a–b açıkken R₃’ten akım geçmez, bu yüzden üzerinde düşüm yoktur ve V_b = V_A olur. R₁ ve R₂ bir gerilim bölücü oluşturur.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·3/(6+3) = 6 V

Norton eşdeğeri

Norton kaynağı, aynı devrenin R_th ile paralel bir akım kaynağı olarak görünümüdür. Akımı, a–b’deki kısa devre akımıdır.

I_N = V_th/R_th = 6/6 = 1 A

10.Thévenin ve Norton

Cevap: V_th = 14,29 V

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Gerilim kaynaklarını kısa devre, akım kaynaklarını açık devreyle değiştirin, sonra devreye a–b’den bakın.

R₁ ∥ R₂ = 6·8/(6+8) = 3,429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,429 + 8 = 11,43 Ω

Açık devre gerilimi V_th’yi bulun

a–b açıkken Iₛ’nin tek yolu R₃ üzerinden A düğümüne gitmektir. V_A’yı V₁ ve Iₛ’nin süperpozisyonuyla bulun, sonra R₃ üzerindeki düşümü ekleyin.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8,571 + 0,5·3,429 = 10,29 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 10,29 + 0,5·8 = 14,29 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Ölçme ve Enstrümantasyon: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Wheatstone köprüsü ve gerinim ölçerler

Yöntem

Veri toplama ve örnekleme

Yöntem

Op-amp devreleri

Seri ve paralel dirençler

Yöntem

Thévenin ve Norton

Yöntem

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Thévenin gerilimi

Thévenin direnci

Galvanometre akımı

Cevap

Bağıl direnç değişimi

Köprü çıkışı

Cevap

Gereken adım sayısı

Bit sayısı

Cevap

Adım büyüklüğü

ADC’deki duyarlılık

Sıcaklık çözünürlüğü

Cevap

Girişlerdeki gerilim

Eviren girişte KAY

Cevap

Her kademenin kazancı

Kademe kademe

Cevap

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Kaynaktan çekilen akım

Cevap

Dirençleri en uzak uçtan birleştirin

Cevap

Tüm kaynaklar kapalıyken Rth’yi bulun

Açık devre gerilimi Vth’yi bulun

Norton eşdeğeri

Tüm kaynaklar kapalıyken Rth’yi bulun

Açık devre gerilimi Vth’yi bulun

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Açık devre gerilimi V_th’yi bulun

Tüm kaynaklar kapalıyken R_th’yi bulun

Açık devre gerilimi V_th’yi bulun