Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Alan deneyinde araştırmacı ne yapar?
- ABağımsız değişkeni gerçek yaşam ortamında manipüle eder
- BBaşkalarının topladığı verileri analiz eder
- CHiçbir şeyi manipüle etmeden yalnızca gözlemler
- DBağımsız değişkeni laboratuvarda manipüle eder
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir araştırmacı bir veri kümesi üzerinde 20 analiz yapıyor ve yalnızca p < 0,05 olanı raporluyor. Bu uygulamaya ne denir?
- AÜçgenleme
- BKarşı dengeleme
- CÖn kayıt
- DP-hacking
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 17, 20, 44, 47, 38, 10.
n = 6
s =
4.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. 90 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 100σ = 10x = 90
z =
5.OlasılıkOrta
13 kişilik bir gruptan 2 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.
n = 13k = 2
N =
6.OlasılıkZor
Bir testte 8 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,7 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 4 doğru cevap olasılığı P nedir?
n = 8p = 0,7k = 4
P =
7.Normal dağılımOrta
kutular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 12 kg, standart sapma 0,8 kg. Bunlardan 9 tanesinin toplam kütlesinin 104,4 kg değerinin altında kalma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 9< 104.4 kg
P =
8.Normal dağılımZor
sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %5 olan x değerini bulun (5. yüzdelik).
μ = 65σ = 10P = 5%
x = puan
9.Güven aralıklarıOrta
15 birimlik bir örneklemin ortalaması 53,5 ve standart sapması s = 5,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.
n = 15x̄ = 53,5s = 5,590%t(14) = 1,761
üst sınır =
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 12. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 12E = 1,595%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 118,2, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 120 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 120x̄ = 118,2s = 4n = 25
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 120 hastadan 54’i, B tedavisi alan 200 hastadan 62’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 54n₁ = 120x₂ = 62n₂ = 200
z =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 18,5 için ŷ tahminini yapın.
n = 5x = 18,5
ŷ =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 2402 × 2
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 4 kategorideki frekansların, ortalaması aynı verilerden tahmin edilen bir Poisson dağılımına uyup uymadığını kontrol ediyor. Testin serbestlik derecesi df kaçtır?
k = 4
df =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Bağımsız değişkeni gerçek yaşam ortamında manipüle eder
Cevap neden bu
Sokakta sahnelenen yardım durumları gibi alan deneyleri ekolojik geçerliği artırır, ancak dışsal değişkenler üzerinde daha az kontrol sağlar ve onam sorunları doğurur.
Cevap
A · Bağımsız değişkeni gerçek yaşam ortamında manipüle eder
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · P-hacking
Cevap neden bu
P-hacking anlamlılık elde etmek için analizdeki esneklikten yararlanır ve yanlış pozitif oranını %5'in çok üzerine çıkarır. Ön kayıt ve şeffaf raporlama bunu azaltır.
Cevap
D · P-hacking
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 15,59
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 176/6 = 29,33
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−12,33)² + (−9,333)² + 14,67² + 17,67² + 8,667² + (−19,33)² = 1215
Standart sapma
s = √(1215/5) = 15,59
Cevap
s = 15,59
4.Betimsel istatistik
Cevap: z = −1
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (90 − 100)/10 = −1
Cevap
z = −1
5.Olasılık
Cevap: N = 78
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasyonlar
C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78
Cevap
N = 78
6.Olasılık
Cevap: P = 0,1361
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binom formülü
P(X = 4) = 70·0,74·0,34 = 70·0,2401·0,0081 = 0,1361
Cevap
P = 0,1361
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,06681
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μT = 108 kg, σT = 0,8·√9 = 2,4 kg
Standartlaştırın
z = (104,4 − 108)/2,4 = −1,5
Olasılık
P = Φ(−1,5) = 0,06681
Cevap
P = 0,06681
8.Normal dağılım
Cevap: x = 48,55 puan
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
x’e geri dönüş
x = 65 + −1,645·10 = 48,55 puan
Cevap
x = 48,55 puan
9.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 56
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Hata payı
E = 1,761·5,5/√15 = 2,501
Aralık
53,5 ± 2,501 → [51, 56]
Cevap
üst sınır = 56
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 246
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,96·12/1,5)² = 245,9
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 246
Cevap
n = 246
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −2,25
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8
Test istatistiği
t = (118,2 − 120)/0,8 = −2,25
Cevap
t = −2,25
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = 2,522
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 54/120 = 0,45
p̂₂ = 62/200 = 0,31
p̂ = 116/320 = 0,3625
H₀ altında standart hata
SE = √(0,3625·0,6375·(1/120 + 1/200)) = 0,05551
Test istatistiği
z = (0,45 − 0,31)/0,05551 = 2,522
Cevap
z = 2,522
|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9804
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 267/5 = 53,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1125
Korelasyon katsayısı
r = 208/√(40·1125) = 0,9804
Cevap
r = 0,9804
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 97,5
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 612/5 = 122,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 498
Regresyon doğrusu
b = 498/90 = 5,533
a = 122,4 − 5,533·23 = −4,867
ŷ = −4,867 + 5,533·x
Tahmin
ŷ = −4,867 + 5,533·18,5 = 97,5
Cevap
ŷ = 97,5
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 0,07326
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
erkekler: 120·156/240 = 78, 120·84/240 = 42
kadınlar: 120·156/240 = 78, 120·84/240 = 42
Ki-kare istatistiği
χ² = (79 − 78)²/78 + (41 − 42)²/42 + (77 − 78)²/78 + (43 − 42)²/42
χ² = 0,07326
Cevap
χ² = 0,07326
sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.
16.Ki-kare testleri
Cevap: df = 2
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 4 − 1 − 1 = 2
Cevap
df = 2
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology