Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
0,03'lük bir p değeri ne anlama gelir?
- ASıfır hipotezi doğru olsaydı, bu kadar uç veriler zamanın yaklaşık %3'ünde ortaya çıkardı
- BSonuç %97 oranında tekrarlanacaktır
- CEtki büyüktür
- DGözlenen veriler verildiğinde sıfır hipotezinin doğru olma olasılığı yalnızca %3'tür
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir araştırmacı işyeri stresini incelemek için anket, görüşme ve gözlem kullanıyor ve bulgular örtüşüyor. Bu yaklaşıma ne denir?
- AKarşı dengeleme
- BTabakalama
- CÜçgenleme
- DTekrarlama
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 35, 29, 17, 59, 36, 26, 56.
n = 7
s =
4.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 500 ve standart sapması 25 olan normal dağılımlıdır. 450 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 500σ = 25x = 450
z =
5.OlasılıkOrta
8 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.
n = 8k = 3
N =
6.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €1. 0,25 olasılıkla €4, 0,05 olasılıkla €20 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €1€4: p = 0,25€20: p = 0,05
E(G) = €
7.Normal dağılımOrta
X ortalaması 120 mm, standart sapması 0,3 mm olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 80 mm, standart sapması 0,4 mm olan normaldir. X + Y’nin 199,5 mm değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,5 mm
P =
8.Normal dağılımZor
pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %80 olan x değerini bulun (80. yüzdelik).
μ = 500σ = 40P = 80%
x = h
9.Güven aralıklarıOrta
64 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %99 güven aralığının hata payı 2,5. Aynı verilerden elde edilen %90 aralığın hata payı E₂ nedir?
99%n₁ = 64E₁ = 2,590%
E₂ =
10.Güven aralıklarıZor
İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 7 parsel, ortalama verim 66,5 kg, standart sapma 7,5 kg. Parsel grubu 2: 5 parsel, ortalama 58,5 kg, standart sapma 1 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.
n₁ = 7x̄₁ = 66,5s₁ = 7,5n₂ = 5x̄₂ = 58,5s₂ = 199%t(10) = 3,169
alt sınır = kg
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 499,1, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 500x̄ = 499,1s = 4n = 16
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 50’a karşı H₁: μ < 50 için tek yönlü bir z testi, 36 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 15 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 42.5’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 50μ = 42,5σ = 15n = 36α = 0,01
β = %
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 6 için ŷ tahminini yapın.
n = 5x = 6
ŷ =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1002 × 3
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
2 satır ve 5 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Tabloyu kullanarak α = 0,05 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,05
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Sıfır hipotezi doğru olsaydı, bu kadar uç veriler zamanın yaklaşık %3'ünde ortaya çıkardı
Cevap neden bu
p değeri, sıfır hipotezi doğru olsaydı gözlenenler kadar ya da daha uç sonuçların elde edilme olasılığıdır. Bir hipotezin doğru olma olasılığını veya etkinin büyüklüğünü vermez.
Cevap
A · Sıfır hipotezi doğru olsaydı, bu kadar uç veriler zamanın yaklaşık %3'ünde ortaya çıkardı
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · Üçgenleme
Cevap neden bu
Üçgenleme birden çok yöntem, kaynak veya araştırmacı kullanır. Bunlar arasındaki uyum bulguların geçerliğine duyulan güveni artırır.
Cevap
C · Üçgenleme
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 15,46
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 258/7 = 36,86
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−1,857)² + (−7,857)² + (−19,86)² + 22,14² + (−0,8571)² + (−10,86)² + 19,14² = 1435
Standart sapma
s = √(1435/6) = 15,46
Cevap
s = 15,46
4.Betimsel istatistik
Cevap: z = −2
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (450 − 500)/25 = −2
Cevap
z = −2
5.Olasılık
Cevap: N = 56
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasyonlar
C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56
Cevap
N = 56
6.Olasılık
Cevap: E(G) = 1 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 3 (p = 0,25), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,7)
Beklenen değer
E(G) = 3·0,25 + 19·0,05 − 1·0,7 = 1 €
Cevap
E(G) = 1 €
Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,8413
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standartlaştırın
z = (199,5 − 200)/0,5 = −1
Üst kuyruk
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413
Cevap
P = 0,8413
8.Normal dağılım
Cevap: x = 533,7 h
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
x’e geri dönüş
x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h
Cevap
x = 533,66 h
9.Güven aralıkları
Cevap: E₂ = 1,596
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Hata paylarının oranı
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(64/64) = 0,6386
Yeni hata payı
E₂ = 2,5·0,6386 = 1,596
Cevap
E₂ = 1,596
10.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = −2,844 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Birleştirilmiş standart sapma
sp² = (6·7,5² + 4·1²)/10 = 34,15
sp = 5,844
Hata payı
E = 3,169·5,844·√(1/7 + 1/5) = 10,84
Aralık
8 ± 10,84 → [−2,844, 18,84]
Cevap
alt sınır = −2,844 kg
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −0,9
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Test istatistiği
t = (499,1 − 500)/1 = −0,9
Cevap
t = −0,9
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: β = 25,02 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 15/√36 = 2,5
x̄c = 50 − 2,326·2,5 = 44,19
Gerçek ortalama altında z
z = (44,19 − 42,5)/2,5 = 0,674
II. tip hata
güç = P(Z < 0.674) = 74.98%
β = 100% − 74,98% = 25,02%
Cevap
β = 25,02%
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = −0,9695
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 114/6 = 19
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25
Syy = Σ(y − ȳ)² = 38
Korelasyon katsayısı
r = −25/√(17,5·38) = −0,9695
Cevap
r = −0,9695
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 51,55
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 234/5 = 46,8
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190
Regresyon doğrusu
b = 190/40 = 4,75
a = 46,8 − 4,75·5 = 23,05
ŷ = 23,05 + 4,75·x
Tahmin
ŷ = 23,05 + 4,75·6 = 51,55
Cevap
ŷ = 51,55
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 0,747
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
gündüz vardiyası: 60·25/100 = 15, 60·35/100 = 21, 60·40/100 = 24
gece vardiyası: 40·25/100 = 10, 40·35/100 = 14, 40·40/100 = 16
Ki-kare istatistiği
χ² = (14 − 15)²/15 + (23 − 21)²/21 + (23 − 24)²/24 + (11 − 10)²/10 + (12 − 14)²/14 + (17 − 16)²/16
χ² = 0,747
Cevap
χ² = 0,747
sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 9,488
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4
Tablo
χ²crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488
Cevap
χ²crit = 9,488
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology