Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

Ki-kare testleri

Test istatistiği: χ² = Σ(O − E)²/E
Uyum iyiliği: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Bağımsızlık: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritik değerler (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Karar: χ² > χ²_crit ise H₀’ı reddedin

2Alıştırma soruları

1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta

Ortalamanın standart hatası ne zaman küçülür?

AOrtalama arttığında
BÖrneklem büyüklüğü azaldığında
CDeğişken sıralama düzeyinde ölçüldüğünde
DÖrneklem büyüklüğü arttığında

2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor

Bir araştırmacı beş t testi yapıyor ve Bonferroni düzeltmesiyle toplam I. tip hata oranını 0,05'te tutmak istiyor. Her test hangi anlamlılık düzeyini kullanmalıdır?

A0,25
B0,025
C0,01
D0,05

3.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 23, 35, 40, 27, 14, 22, 42.

n = 7

s =

4.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 70 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. 60 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 70σ = 10x = 60

z =

5.OlasılıkOrta

Bir torbada 5 kırmızı ve 8 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

5 / 8

P =

6.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €1. 0,25 olasılıkla €4, 0,01 olasılıkla €20 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €1€4: p = 0,25€20: p = 0,01

E(G) = €

7.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,8770 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,8770

z =

8.Normal dağılımZor

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %97,5 olan x değerini bulun (97,5. yüzdelik).

μ = 32σ = 6P = 97,5%

x = min

9.Güven aralıklarıOrta

6 birimlik bir örneklemin ortalaması 95,5 ve standart sapması s = 9. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 6x̄ = 95,5s = 995%t(5) = 2,571

E =

10.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 30 milin çaplarının örneklem standart sapması 5,5 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının alt sınır σ değerini bulun. df = 29 ile χ² dağılımının %2,5’i 16,047 değerinin altında, %2,5’i 45,722 değerinin üstündedir.

n = 30s = 5,5 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 108,5, örneklem standart sapması 20. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 100x̄ = 108,5s = 20n = 16

t =

12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 200’a karşı H₁: μ > 200 için tek yönlü bir z testi, 36 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,05 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 12 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 207’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 200μ = 207σ = 12n = 36α = 0,05

1 − β = %

13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 4,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 4,5

ŷ =

15.Ki-kare testleriOrta

Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.

N = 1802 × 3

χ² =

16.Ki-kare testleriZor

Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 8 kategorideki gözlenen frekansları tam olarak belirlenmiş beklenen oranlarla karşılaştırıyor (verilerden parametre tahmin edilmiyor). Testin serbestlik derecesi df kaçtır?

k = 8

df =

3Çözeltiler

1.Psikolojide araştırma yöntemleri

Cevap: D · Örneklem büyüklüğü arttığında

Cevap neden bu

Standart hata, örneklem ortalamalarının evren ortalaması çevresinde ne kadar değiştiğini tahmin eder. Daha büyük örneklemler daha kesin tahminler verir.

Cevap

D · Örneklem büyüklüğü arttığında

2.Psikolojide araştırma yöntemleri

Cevap: C · 0,01

Cevap neden bu

Bonferroni düzeltmesi α'yı karşılaştırma sayısına böler: 0,05 / 5 = 0,01. Basittir ama tutucudur; bu da II. tip hata riskini artırır.

Cevap

C · 0,01

3.Betimsel istatistik

Cevap: s = 10,33

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 203/7 = 29

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−6)² + 6² + 11² + (−2)² + (−15)² + (−7)² + 13² = 640

Standart sapma

s = √(640/6) = 10,33

Cevap

s = 10,33

4.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1

Standartlaştırın

z = (60 − 70)/10 = −1

Cevap

z = −1

5.Olasılık

Cevap: P = 0,1282

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0,1282

Cevap

P = 0,1282

6.Olasılık

Cevap: E(G) = 0,2 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 3 (p = 0,25), 19 (p = 0,01), −1 (p = 0,74)

Beklenen değer

E(G) = 3·0,25 + 19·0,01 − 1·0,74 = 0,2 €

Cevap

E(G) = 0,2 €

Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.

7.Normal dağılım

Cevap: z = −1,16

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,8770 = 0,1230

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,1230 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = −1,16

Cevap

z = −1,16

8.Normal dağılım

Cevap: x = 43,76 min

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

x’e geri dönüş

x = 32 + 1,96·6 = 43,76 min

Cevap

x = 43,76 min

9.Güven aralıkları

Cevap: E = 9,446

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 5, t = 2,571

Hata payı

E = 2,571·9/√6 = 9,446

Cevap

E = 9,446

10.Güven aralıkları

Cevap: σ = 4,38 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 29·5,5² = 877,3

σ² için sınırlar

877,3/45,722 = 19,19

877,3/16,047 = 54,67

σ için sınır

σ = √19,19 = 4,38 µm

Cevap

σ = 4,38 µm

σ için %95 aralık: [4,38, 7,394] µm.

11.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,7

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Test istatistiği

t = (108,5 − 100)/5 = 1,7

Cevap

t = 1,7

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

12.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 96,82 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 12/√36 = 2

x̄_c = 200 + 1,645·2 = 203,3

Gerçek ortalama altında z

z = (203,3 − 207)/2 = −1,855

Güç

güç = P(Z > −1,855) = 96,82%

1 − β = 96,82%

Cevap

1 − β = 96,82%

13.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,8426

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 102/6 = 17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 114

Belirlilik katsayısı

r² = −41²/(17,5·114) = 0,8426

Cevap

r² = 0,8426

y’deki değişimin yaklaşık %84,26’ı doğru tarafından açıklanır.

14.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 20,35

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 122/5 = 24,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

Regresyon doğrusu

b = −27/10 = −2,7

a = 24,4 − (−2,7)·3 = 32,5

ŷ = 32,5 − 2,7·x

Tahmin

ŷ = 32,5 + (−2,7)·4,5 = 20,35

Cevap

ŷ = 20,35

15.Ki-kare testleri

Cevap: χ² = 20,01

Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.

Beklenen frekanslar

kentsel: 120·36/180 = 24, 120·54/180 = 36, 120·90/180 = 60

kırsal: 60·36/180 = 12, 60·54/180 = 18, 60·90/180 = 30

Ki-kare istatistiği

χ² = (31 − 24)²/24 + (43 − 36)²/36 + (46 − 60)²/60 + (5 − 12)²/12 + (11 − 18)²/18 + (44 − 30)²/30

χ² = 20,01

Cevap

χ² = 20,01

sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilir.

16.Ki-kare testleri

Cevap: df = 7

Serbestlik derecesi

df = 8 − 1 = 7

Cevap

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology