Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Hakemlerin resimleri sıralaması gibi iki sıralama dizisi arasındaki ilişki için hangi istatistik uygundur?
- ABağımsız t testi
- BSpearman rho
- CPearson r
- DKi-kare
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir meta-analiz bir terapiye ilişkin 40 çalışmayı birleştiriyor. Toplam etki büyüklüğü neden yine de çok büyük olabilir?
- AMeta-analizler her zaman kapsadıkları tek çalışmalardan daha küçük etkiler verir
- BYayın yanlılığı nedeniyle yayımlanmamış anlamsız sonuçlu çalışmalar eksik olabilir
- CÇalışmaları birleştirmek her zaman tüm yanlılığı ortadan kaldırır
- DMeta-analizler seçkisiz kontrollü çalışmaları içeremez
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 21, 27, 22, 56, 19, 37.
n = 6
s =
4.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. 110 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 100σ = 5x = 110
z =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,35, 0,15, 0,2
Var(X) =
6.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €3. 0,25 olasılıkla €12, 0,02 olasılıkla €30 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €3€12: p = 0,25€30: p = 0,02
E(G) = €
7.Normal dağılımOrta
bagajlı yolcular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 85 kg, standart sapma 12 kg. Bunlardan 9 tanesinin toplam kütlesinin 729 kg değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9> 729 kg
P =
8.Normal dağılımZor
IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %75 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 100 puanσ = 15 puan75%
x = puan
9.Güven aralıklarıOrta
25 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %90 güven aralığının hata payı 3,9. Aynı çalışma bunun yerine 225 gözlem kullanırsa hata payı E₂ ne olur?
90%n₁ = 25E₁ = 3,9n₂ = 225
E₂ =
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 36. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 36E = 395%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
36 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 102,3, örneklem standart sapması 20. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 100x̄ = 102,3s = 20n = 36
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ < 80 için tek yönlü bir z testi, 25 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 15 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 70.7’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 80μ = 70,7σ = 15n = 25α = 0,01
1 − β = %
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 30Σy = 67Σx² = 220Σy² = 1117Σxy = 494
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (5,5, 13) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 6(5,5, 13)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1402 × 3
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 9 kategorideki frekansların, ortalaması aynı verilerden tahmin edilen bir Poisson dağılımına uyup uymadığını kontrol ediyor. Testin serbestlik derecesi df kaçtır?
k = 9
df =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Spearman rho
Cevap neden bu
Spearman sıra korelasyonu, iki sıralanmış veya sıralama düzeyindeki değişken arasındaki monoton ilişkinin gücünü ölçer.
Cevap
B · Spearman rho
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Yayın yanlılığı nedeniyle yayımlanmamış anlamsız sonuçlu çalışmalar eksik olabilir
Cevap neden bu
Anlamsız sonuçlar daha az yayımlanıyorsa birleştirilmiş etki şişer. Huni grafikleri ve yayımlanmamış verilerin aranması bunu saptamaya ve azaltmaya yardımcı olur.
Cevap
B · Yayın yanlılığı nedeniyle yayımlanmamış anlamsız sonuçlu çalışmalar eksik olabilir
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 14,14
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 182/6 = 30,33
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−9,333)² + (−3,333)² + (−8,333)² + 25,67² + (−11,33)² + 6,667² = 999,3
Standart sapma
s = √(999,3/5) = 14,14
Cevap
s = 14,14
4.Betimsel istatistik
Cevap: z = 2
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (110 − 100)/5 = 2
Cevap
z = 2
5.Olasılık
Cevap: Var(X) = 118,8
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 10·0,3 + 20·0,35 + 30·0,15 + 40·0,2 = 22,5
Karelerin ortalaması
E(X²) = 100·0,3 + 400·0,35 + 900·0,15 + 1600·0,2 = 625
Varyans
Var(X) = 625 − 22,5² = 118,8
Cevap
Var(X) = 118,8
6.Olasılık
Cevap: E(G) = 0,6 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 9 (p = 0,25), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,73)
Beklenen değer
E(G) = 9·0,25 + 27·0,02 − 3·0,73 = 0,6 €
Cevap
E(G) = 0,6 €
Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,8413
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μT = 765 kg, σT = 12·√9 = 36 kg
Standartlaştırın
z = (729 − 765)/36 = −1
Olasılık
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Cevap
P = 0,8413
8.Normal dağılım
Cevap: x = 90 puan
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,25
Tablodan z
z ≈ −0,67
Özgün birimlere geri dönüş
x = 100 − 0,67·15 = 90 puan
Cevap
x = 90 puan
9.Güven aralıkları
Cevap: E₂ = 1,3
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Hata paylarının oranı
E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(25/225) = 0,3333
Yeni hata payı
E₂ = 3,9·0,3333 = 1,3
Cevap
E₂ = 1,3
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 554
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,96·36/3)² = 553,2
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 554
Cevap
n = 554
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 0,69
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
Test istatistiği
t = (102,3 − 100)/3,333 = 0,69
Cevap
t = 0,69
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: 1 − β = 78,05 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 15/√25 = 3
x̄c = 80 − 2,326·3 = 73,02
Gerçek ortalama altında z
z = (73,02 − 70,7)/3 = 0,774
Güç
güç = P(Z < 0.774) = 78.05%
1 − β = 78,05%
Cevap
1 − β = 78,05%
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9825
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 494 − 30·67/5 = 92
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1117 − 67²/5 = 219,2
Korelasyon katsayısı
r = 92/√(40·219,2) = 0,9825
Cevap
r = 0,9825
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 2,819
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 94/6 = 15,67
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −48
Regresyon doğrusu
b = −48/17,5 = −2,743
a = 15,67 − (−2,743)·3,5 = 25,27
ŷ = 25,27 − 2,743·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 25,27 + (−2,743)·5,5 = 10,18
Artık
e = 13 − 10,18 = 2,819
Cevap
e = 2,819
Nokta doğrunun üstündedir.
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 3,662
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
kentsel: 80·21/140 = 12, 80·56/140 = 32, 80·63/140 = 36
kırsal: 60·21/140 = 9, 60·56/140 = 24, 60·63/140 = 27
Ki-kare istatistiği
χ² = (9 − 12)²/12 + (30 − 32)²/32 + (41 − 36)²/36 + (12 − 9)²/9 + (26 − 24)²/24 + (22 − 27)²/27
χ² = 3,662
Cevap
χ² = 3,662
sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.
16.Ki-kare testleri
Cevap: df = 7
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 9 − 1 − 1 = 7
Cevap
df = 7
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology